Mens de engelske ordene "sekvens" og "serie" har lignende betydninger, er de i matematikk helt forskjellige begreper. En sekvens er en liste med tall plassert i en definert rekkefølge mens en serie er summen av en slik liste med tall. Det er mange typer sekvenser, inkludert de som er basert på uendelige talllister. Ulike sekvenser og den tilsvarende serien har forskjellige egenskaper og kan gi overraskende resultater.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
Sekvenser er lister over tall plassert i en bestemt rekkefølge i henhold til gitte regler. Serien som tilsvarer en sekvens er summen av tallene i den sekvensen. Serier kan være aritmetiske, noe som betyr at det er en fast forskjell mellom tallene i serien, eller geometriske, noe som betyr at det er en fast faktor. Uendelige serier har ikke noe endelig nummer, men kan fortsatt ha en fast sum under visse forhold.
Typer av sekvenser og serier
Vanlige sekvenser er aritmetiske eller geometriske. I en aritmetisk sekvens, skiller hvert tall eller begrep i sekvensen seg fra den forrige termen med samme mengde. For eksempel, hvis en aritmetisk sekvensforskjell er 2, kan en tilsvarende aritmetisk sekvens være 1, 3, 5... Hvis forskjellen er -3, kan en sekvens være 4, 1, -2... Den aritmetiske sekvensen er definert av startnummeret og forskjellen.
For geometriske sekvenser varierer begrepene med en faktor. For eksempel kan en sekvens med faktoren 2 være 2, 4, 8... og en sekvens med faktoren 0,75 kan være 32, 24, 18... Den geometriske sekvensen er definert av startnummeret og faktoren.
Serietypene avhenger av sekvensen som legges til. En aritmetisk serie legger til uttrykkene for en aritmetisk sekvens, og en geometrisk serie legger til en geometrisk sekvens.
Endelige og uendelige sekvenser og serier
Sekvenser og den tilsvarende serien kan være basert på et fast antall vilkår eller et uendelig antall. En endelig sekvens har et startnummer, en forskjell eller faktor og et fast totalt antall termer. For eksempel vil den første aritmetiske sekvensen ovenfor med åtte termer være 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Den første geometriske sekvensen ovenfor med seks termer ville være 2, 4, 8, 16, 32, 64. Den tilsvarende aritmetiske serien vil ha en verdi på 64 og den geometriske serien 126. Uendelige sekvenser har ikke et fast antall vilkår, og vilkårene deres kan vokse til uendelig, redusere til null eller nærme seg en fast verdi. Tilsvarende serie kan også ha et uendelig, null eller fast resultat.
Konvergente og divergerende serier
Uendelige serier er divergerende hvis summen nærmer seg uendelig når antall termer øker. En uendelig serie er konvergent hvis summen nærmer seg en uendelig verdi som null eller et annet fast tall. Serier er konvergente hvis vilkårene for den underliggende sekvensen raskt nærmer seg null.
Serien som legger til vilkårene for den uendelige sekvensen 1, 2, 4... er avvikende fordi vilkårene i sekvensen fortsetter å vokse, slik at summen når en uendelig verdi når antall termer øker. Serien 1, 0,5, 0,25... er konvergent fordi vilkårene raskt blir veldig små.
Mens sekvenser er ordnet lister over tall og serier er summer, kan begge være viktige verktøy i evaluere sett med tall, og egenskapene til konvergens eller divergens kan ha virkelige liv implikasjoner. En divergerende serie representerer ofte en ustabil tilstand, mens en konvergerende serie ofte betyr at en prosess eller struktur vil være stabil.