Hvordan finne perioden for en funksjon

Når du tegner graf trigonometriske funksjoner, oppdager du at de er periodiske; det vil si at de gir resultater som gjentas forutsigbart. For å finne perioden for en gitt funksjon, trenger du litt kjennskap til hver enkelt og hvordan variasjoner i bruken av dem påvirker perioden. Når du har gjenkjent hvordan de fungerer, kan du velge trig-funksjoner og finne perioden uten problemer.

TL; DR (for lang; Leste ikke)

Perioden for sinus- og cosinusfunksjonene er 2π (pi) radianer eller 360 grader. For tangensfunksjonen er perioden π radianer eller 180 grader.

Når du tegner dem i en graf, produserer de trigonometriske funksjonene bølgeformer som gjentas regelmessig. Som enhver bølge har formene gjenkjennelige funksjoner som topper (høye punkter) og kummer (lave punkter). Perioden forteller deg den kantede "avstanden" til en hel bølgesyklus, vanligvis målt mellom to tilstøtende topper eller kummer. Av denne grunn måler du i matematikk en funksjons periode i vinkelenheter. For eksempel, med en vinkel på null, produserer sinusfunksjonen en jevn kurve som stiger til maksimalt 1 ved π / 2 radianer (90 grader), krysser null ved π radianer (180 grader), synker til minimum −1 ved 3π / 2 radianer (270 grader) og når null igjen ved 2π radianer (360 grader). Etter dette punktet gjentas syklusen på ubestemt tid, og gir de samme funksjonene og verdiene som vinkelen øker positivt

Sinus- og cosinusfunksjonene har begge en periode på 2π radianer. Kosinusfunksjonen er veldig lik sinusen, bortsett fra at den er "foran" sinusen ved π / 2 radianer. Sinusfunksjonen tar verdien null på null grader, hvor cosinus er 1 på samme punkt.

Du får tangensfunksjonen ved å dele sinus med cosinus. Perioden er π radianer eller 180 grader. Grafen over tangens (x) er null i vinkelen null, kurver oppover, når 1 ved π / 4 radianer (45 grader), og kurver deretter oppover igjen der den når et divisjon-ved-null-punkt ved π / 2 radianer. Funksjonen blir deretter negativ uendelig og sporer ut et speilbilde under y akse, når −1 ved 3π / 4 radianer, og krysser y akse ved π radianer. Selv om det har x verdier der den blir udefinert, har tangentfunksjonen fremdeles en definerbar periode.

De tre andre trigfunksjonene, cosecant, secant og cotangent, er gjensidige av henholdsvis sinus, cosinus og tangens. Med andre ord, cosecant (x) er 1 / synd (x), secant (x) = 1 / cos (x) og barneseng (x) = 1 / tan (x). Selv om grafene deres har udefinerte punkter, er periodene for hver av disse funksjonene de samme som for sinus, cosinus og tangens.

Ved å multiplisere x i en trigonometrisk funksjon med en konstant, kan du forkorte eller forlenge perioden. For eksempel, for funksjonen sin (2_x_), er perioden halvparten av normalverdien, fordi argumentet x er doblet. Den når sitt første maksimum ved π / 4 radianer i stedet for π / 2, og fullfører en full syklus i π radianer. Andre faktorer du ofte ser med trig-funksjoner inkluderer endringer i fase og amplitude, der fasen beskriver en endring til startpunktet på grafen, og amplitude er funksjonens maksimale eller minimale verdi, og ignorerer negativt tegn på minimum. Uttrykket, 4 × sin (2_x_ + π) når for eksempel 4 på sitt høyeste på grunn av multiplikatoren 4, og begynner med å bøye seg nedover i stedet for oppover på grunn av π-konstanten lagt til perioden. Merk at verken 4- eller π-konstantene påvirker funksjonens periode, bare dens startpunkt og maksimums- og minimumsverdier.