Noen gang lurt på hvordan trigonometriske funksjoner som sinus og cosinus er relatert? De brukes begge til å beregne sider og vinkler i trekanter, men forholdet går lenger enn det.Cofunction identitetergi oss spesifikke formler som viser hvordan vi kan konvertere mellom sinus og cosinus, tangens og cotangens, og secant og cosecant.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
Sinusen til en vinkel er lik cosinus for komplementet og omvendt. Dette gjelder også andre funksjoner.
En enkel måte å huske hvilke funksjoner som er medfunksjoner, er at to trigfunksjoner erfunksjonerhvis en av dem har "co-" prefikset foran seg. Så:
- sinus ogcosine ercofunksjoner.
- tangens ogcotangens ercofunksjoner.
- secant ogcosekant ercofunksjoner.
Vi kan beregne frem og tilbake mellom samfunksjoner ved å bruke denne definisjonen: Verdien av en funksjon av en vinkel er lik verdien av samfunksjonen til komplementet.
Det høres komplisert ut, men i stedet for å snakke om verdien av en funksjon generelt, la oss bruke et spesifikt eksempel. De
sinusav en vinkel tilsvarercosinusav komplementet. Og det samme gjelder andre samfunksjoner: Tangensen til en vinkel er lik medtangenten til komplementet.Husk: To vinkler erkomplementhvis de legger opp til 90 grader.
Kofunksjonsidentiteter i grader:
(Legg merke til at 90 ° -xgir oss et vinkels komplement.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ barneseng (90 ° - x) \\ \ barneseng (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Cofunction Identities in Radians
Husk at vi også kan skrive ting mhtradianer, som er SI-enheten for måling av vinkler. Nitti grader er det samme som π / 2 radianer, så vi kan også skrive samfunksjonsidentitetene slik:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ barneseng \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ barneseng (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Cofunction Identities Proof
Alt dette høres fint ut, men hvordan kan vi bevise at dette er sant? Å teste det selv på et par eksempler på trekanter kan hjelpe deg til å føle deg trygg på det, men det er også et strengere algebraisk bevis. La oss bevise samfunksjonsidentitetene for sinus og cosinus. Vi skal jobbe i radianer, men det er det samme som å bruke grader.
Bevis:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Først og fremst, nå langt tilbake i minnet til denne formelen, fordi vi skal bruke den i beviset vårt:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Har det? OK. La oss nå bevise: synd (x) = cos (π / 2 - x).
Vi kan omskrive cos (π / 2 -x) som dette:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( x)
fordi vi vet
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ tekst {og} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Så
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! La oss nå bevise det med cosinus!
Bevis:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Nok en eksplosjon fra fortiden: Husker du denne formelen?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Vi er i ferd med å bruke den. La oss nå bevise:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Vi kan omskrive synd (π / 2 -x) som dette:
\ begynn {justert} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {aligned}
fordi vi vet
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ tekst {og} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Så vi får
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Kofunksjonskalkulator
Prøv noen få eksempler på å arbeide med samfunksjoner alene. Men hvis du setter deg fast, har Math Celebrity en cofunction-kalkulator som viser trinnvise løsninger på cofunction-problemer.
Glad kalkulasjon!