Algebra er full av gjentatte mønstre som du kan regne ut med regning hver gang. Men fordi disse mønstrene er så vanlige, er det vanligvis en formel av noe slag for å gjøre beregningene enklere. Kuben til en binomial er et godt eksempel: Hvis du måtte trene den hver gang, brukte du mye tid på å slite over blyant og papir. Men når du først har kjent formelen for å løse den kuben (og noen få praktiske triks for å huske den), er det å finne svaret ditt så enkelt som å koble de rette vilkårene til de riktige variabelsporene.
TL; DR (for lang; Leste ikke)
Formelen for kuben til en binomial (en + b) er:
(en + b)3 = en3 + 3_a_2b + 3_ab_2 + b3
Beregning av kuben til et binomium
Det er ikke nødvendig å få panikk når du ser et problem som (a + b)3 foran deg. Når du deler den opp i de kjente komponentene, vil den begynne å se ut som mer kjente matteproblemer du har gjort før.
I dette tilfellet hjelper det å huske det
(a + b)3
er det samme som
(a + b) (a + b) (a + b), som skal se mye mer kjent ut.
Men i stedet for å trene matematikken fra bunnen av hver gang, kan du bruke "snarveien" til en formel som representerer svaret du får. Her er formelen for kuben til en binomial:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
For å bruke formelen, identifiser hvilke tall (eller variabler) som opptar sporene for "a" og "b" på venstre side av ligning, og erstatt deretter de samme tallene (eller variablene) i "a" og "b" sporene på høyre side av formel.
Eksempel 1: Løse (x + 5)3
Som du kan se, x opptar "a" -sporet på venstre side av formelen, og 5 opptar "b" -sporet. Erstatter x og 5 på høyre side av formelen gir deg:
x3 + 3x25 + 3x52 + 53
Litt forenkling får deg nærmere svaret:
x3 + 3 (5) x2 + 3 (25) x + 125
Og til slutt, når du har forenklet så mye du kan:
x3 + 15x2 + 75x + 125
Hva med subtraksjon?
Du trenger ikke en annen formel for å løse et problem som (y - 3)3. Hvis du husker det y - 3 er det samme som y + (-3), kan du ganske enkelt skrive om problemet til [y + (-3)]3 og løse det ved hjelp av din velkjente formel.
Eksempel 2: Løse (y - 3)3
Som allerede diskutert, er ditt første skritt å omskrive problemet til [y + (-3)]3.
Husk deretter formelen for kuben til en binomial:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
I problemet ditt, y opptar "a" -sporet på venstre side av ligningen, og -3 opptar "b" -sporet. Sett dem inn i de riktige sporene på høyre side av ligningen, og vær nøye med parentesene dine for å bevare det negative tegnet foran -3. Dette gir deg:
y3 + 3 år2(-3) + 3y (-3)2 + (-3)3
Nå er det på tide å forenkle. Igjen, vær nøye med det negative tegnet når du bruker eksponenter:
y3 + 3 (-3) y2 + 3 (9) y + (-27)
En runde med forenkling gir deg svaret ditt:
y3 - 9 år2 + 27 år - 27
Se opp for kubens sum og forskjell
Vær alltid nøye med hvor eksponentene er i problemet ditt. Hvis du ser et problem i skjemaet (a + b)3, eller [a + (-b)]3, så er formelen som diskuteres her passende. Men hvis problemet ditt ser ut (en3 + b3) eller (en3 - b3), det er ikke kuben til et binomium. Det er summen av kuber (i det første tilfellet) eller forskjellen på kuber (i det andre tilfellet), i så fall bruker du en av følgende formler:
(en3 + b3) = (a + b) (a2 - ab + b2)
(en3 - b3) = (a - b) (a2 + ab + b2)