Implisitt differensiering er en teknikk som brukes til å bestemme derivatet av en funksjon i formen y = f (x).
For å lære å bruke implisitt differensiering, kan vi bruke metoden på et enkelt eksempel og deretter utforske noen mer komplekse saker.
Implisitt differensiering er bare differensiering
Selv om det høres mer komplisert ut, bruker implisitt differensiering all den samme matematikken og ferdighetene som grunnleggende differensiering. Det viktige å merke seg er imidlertid at vår avhengige variabel nå dukker opp i selve funksjonen.
Ta en enkel ligning som xy = 1. Det er to måter å finne derivatet av y med respekt for x, eller dy / dx. Først kan vi bare løse for y i ligningen og bruk kraftregelen for derivater. Å gjøre dette vil gi: y = 1 / x. Å bruke kraftregelen vil derfor avsløre at dy / dx = -1 / x2.
Vi kan også gjøre dette problemet ved å bruke implisitt differensiering. Heldigvis vet vi allerede svaret (det skal være det samme uansett hvordan vi beregner det), slik at vi kan sjekke arbeidet vårt!
For å begynne, bruk derivatet på begge sider av ligningen xy = 1. Deretter d / dx (xy) = d / dx (1); klart er høyre side nå lik 0, men venstre side krever kjederegelen. Dette er fordi vi tar derivatet av vår funksjon, y, mens det blir multiplisert til en annen faktor av x. For å beregne dette: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Vi vil bruke hovednotasjonen for å indikere et derivat med hensyn til x.
Omskriving av ligningen gir: y + xy '= 0. Det er på tide å løse for y ' i vår ligning! Det er klart at y '= -y / x. Men ved å bruke den opprinnelige informasjonen vet vi at y = 1 / x, slik at vi kan erstatte dette igjen. Når vi har gjort det, ser vi at y '= -1 / x2, akkurat som vi fant før.
Implisitt differensiering for å bestemme avledningen av synd (xy)
For å bestemme derivatet av y = sin (xy), vil vi bruke implisitt differensiering ved å huske at (d / dx) y = y '.
Først bruker du derivatet på begge sider av ligningen: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Venstre side av ligningen er tydelig y ', som er det vi trenger å løse for, men høyre side vil kreve litt arbeid; spesifikt kjederegelen og produktregelen. Først må kjederegelen brukes på sin (xy), og deretter produktregelen for argumentet xy. Heldigvis beregnet vi allerede denne produktregelen.
Deretter gir forenkling dette: y '= cos (xy) (y + xy').
Det er klart at denne ligningen må løses for y ' for å bestemme hvordan y ' er i slekt med x og y.
Isoler alle vilkår med y ' på den ene siden: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).
Deretter faktor ut y ' for å få: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).
Nå ser vi at y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).
Ytterligere forenkling er nødvendig, men fordi funksjonen vår er rekursivt definert, vil plugging i y = sin (xy) sannsynligvis ikke gi en tilfredsstillende løsning. I dette tilfellet kan mer informasjon eller en mer sofistikert metode for å plotte disse ligningene være nyttige.
Generelle trinn for implisitt differensiering
Husk først at implisitt differensiering er avhengig av at en av variablene er en funksjon av den andre. Vanligvis ser vi funksjoner som y = f (x), men man kan skrive en funksjon x = f (y). Vær forsiktig når du nærmer deg disse problemene for å finne ut hvilken variabel som er avhengig av den andre.
Husk deretter å bruke avledede regler nøye. Implisitt differensiering vil kreve kjederegelen veldig ofte, samt produktregelen og kvotientregelen. Korrekt anvendelse av disse metodene vil være viktig for å bestemme det endelige svaret.
Til slutt, løse det ønskede derivatet ved å isolere det, og forenkle uttrykkene så mye som mulig.
