Wiskundige functies zijn krachtige hulpmiddelen voor het bedrijfsleven, de techniek en de wetenschappen, omdat ze kunnen fungeren als miniatuurmodellen van fenomenen in de echte wereld. Om functies en relaties te begrijpen, moet je wat dieper ingaan op concepten als verzamelingen, geordende paren en relaties. Een functie is een speciaal soort relatie die er maar één heeftjawaarde voor een gegevenXwaarde. Er bestaan andere soorten relaties die op functies lijken, maar niet voldoen aan de strikte definitie van één.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Een relatie is een reeks getallen die in paren zijn georganiseerd. Een functie is een speciaal soort relatie die er maar één heeftjawaarde voor een gegevenXwaarde.
Sets, bestelde paren en relaties
Om relaties en functies te beschrijven, helpt het om eerst verzamelingen en geordende paren te bespreken. Kort gezegd is een reeks getallen een verzameling ervan, meestal tussen accolades, zoals {15,1, 2/3} of {0,.22}. Meestal definieert u een set met een regel, zoals alle even getallen tussen 2 en 10, inclusief: {2,4,6,8,10}.
Een set kan een willekeurig aantal elementen hebben, of helemaal geen, dat wil zeggen de nulset {}. Een geordend paar is een groep van twee getallen tussen haakjes, zoals (0,1) en (45, −2). Voor het gemak kunt u de eerste waarde in een besteld paar de. noemenXwaarde, en de tweede dejawaarde. Een relatie organiseert geordende paren in een set. De verzameling {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} is bijvoorbeeld een relatie. U kunt deXenjawaarden van een relatie in een grafiek met behulp van deXenjaassen.
Relaties en functies
Een functie is een relatie waarin een gegevenXwaarde heeft slechts één corresponderendejawaarde. Je zou kunnen denken dat met geordende paren, elkXheeft er maar éénjawaarde sowieso. Merk in het voorbeeld van een relatie hierboven echter op dat deXwaarden 1 en 2 hebben elk twee corresponderendejawaarden, respectievelijk 0 en 5 en 10 en 15. Deze relatie is geen functie. De regel geeft de functierelatie een definitiefheid die anders niet zou bestaan, in termen vanXwaarden. Je zou kunnen vragen, wanneer?Xis 1, wat is dejawaarde? Voor de bovenstaande relatie heeft de vraag geen definitief antwoord; het kan 0, 5 of beide zijn.
Bekijk nu een voorbeeld van een relatie die een echte functie is: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. DeXwaarden worden nergens herhaald. Kijk als een ander voorbeeld naar {( -1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Sommigejawaarden worden herhaald, maar dit is niet in strijd met de regel. Je kunt nog steeds zeggen dat wanneer de waarde vanXis 0,jais zeker 5.
Grafische functies: verticale lijntest
Je kunt zien of een relatie een functie is door de getallen in een grafiek uit te zetten en de verticale lijntest toe te passen. Als er geen verticale lijn door de grafiek gaat die deze op meer dan één punt snijdt, is de relatie een functie.
Functies als vergelijkingen
Het uitschrijven van een reeks geordende paren als functie zorgt voor een eenvoudig voorbeeld, maar wordt al snel vervelend als je meer dan een paar getallen hebt. Om dit probleem aan te pakken, schrijven wiskundigen functies in termen van vergelijkingen, zoals:
y = x^2 - 2x + 3
Met behulp van deze compacte vergelijking kunt u zoveel geordende paren genereren als u wilt: Vul verschillende waarden in voorX, reken maar uit, en je komt eruitjawaarden.
Gebruik van functies in de echte wereld
Veel functies dienen als wiskundige modellen, waardoor mensen details van fenomenen kunnen begrijpen die anders mysterieus zouden blijven. Om een eenvoudig voorbeeld te geven: de afstandsvergelijking voor een vallend object is:
d = \frac{1}{2} g t^2
waartis tijd in seconden, engis de versnelling als gevolg van de zwaartekracht. Sluit 9.8 aan voor de zwaartekracht van de aarde in vierkante meters per seconde, en je kunt de afstand vinden die een object op elk gewenst moment heeft laten vallen. Merk op dat, ondanks al hun bruikbaarheid, modellen beperkingen hebben. De voorbeeldvergelijking werkt goed voor het laten vallen van een stalen bal, maar niet voor een veer, omdat de lucht de veer vertraagt.