Soms is het nodig om een vector te vinden die niet nul is en die, wanneer vermenigvuldigd met een vierkante matrix, ons een veelvoud van de vector teruggeeft. Deze vector die niet nul is, wordt een "eigenvector" genoemd. Eigenvectoren zijn niet alleen interessant voor wiskundigen, maar ook voor anderen in beroepen zoals natuurkunde en techniek. Om ze te berekenen, moet u matrixalgebra en determinanten begrijpen.
Leer en begrijp de definitie van een 'eigenvector'. Het wordt gevonden voor een n x n vierkante matrix A en ook a scalaire eigenwaarde genaamd "lambda." Lambda wordt weergegeven door de Griekse letter, maar hier zullen we het afkorten tot L. Als er een vector x is die niet nul is, waarbij Ax = Lx, wordt deze vector x een "eigenwaarde van A" genoemd.
Vind de eigenwaarden van de matrix met behulp van de karakteristieke vergelijking det (A -- LI) = 0. "Det" staat voor de determinant en "I" is de identiteitsmatrix.
Bereken de eigenvector voor elke eigenwaarde door een eigenruimte E(L) te vinden, de nulruimte van de karakteristieke vergelijking. De niet-nulvectoren van E(L) zijn de eigenvectoren van A. Deze worden gevonden door de eigenvectoren weer in de karakteristieke matrix in te pluggen en een basis te vinden voor A -- LI = 0.
Bereken de eigenwaarden met behulp van de karakteristieke vergelijking. Det (A -- LI) is (3 -- L)(3 -- L) --1 = L^2 -- 6L + 8 = 0, wat de karakteristieke veelterm is. Als we dit algebraïsch oplossen, krijgen we L1 = 4 en L2 = 2, de eigenwaarden van onze matrix.
Vind de eigenvector voor L = 4 door de nulruimte te berekenen. Doe dit door L1 = 4 in de karakteristieke matrix te plaatsen en de basis te vinden voor A -- 4I = 0. Als we dit oplossen, vinden we x -- y = 0, of x = y. Dit heeft slechts één onafhankelijke oplossing omdat ze gelijk zijn, zoals x = y = 1. Daarom is v1 = (1,1) een eigenvector die de eigenruimte van L1 = 4 overspant.
Herhaal stap 6 om de eigenvector voor L2 = 2 te vinden. We vinden x + y = 0, of x = --y. Dit heeft ook één onafhankelijke oplossing, zeg x = --1 en y = 1. Daarom is v2 = (--1,1) een eigenvector die de eigenruimte van L2 = 2 overspant.