Hoe een vierkantswortelvergelijking op te lossen?

De vierkantswortel van een getal is een waarde die, wanneer vermenigvuldigd met zichzelf, het oorspronkelijke getal oplevert. De vierkantswortel van 0 is bijvoorbeeld 0, de vierkantswortel van 100 is 10 en de vierkantswortel van 50 is 7,071. Soms kun je de vierkantswortel van een getal dat zelf een 'perfect vierkant' is, berekenen of je eenvoudig herinneren, wat het product is van een geheel getal vermenigvuldigd met zichzelf; naarmate je vordert tijdens je studie, zul je waarschijnlijk een mentale lijst van deze nummers ontwikkelen (1, 4, 9, 25, 36.. .).

Problemen met vierkantswortels zijn onmisbaar in engineering, calculus en vrijwel elk domein van de moderne wereld. Hoewel u gemakkelijk online rekenmachines voor vierkantswortelvergelijkingen kunt vinden (zie bronnen voor een voorbeeld), is het oplossen van vierkantswortelvergelijkingen een belangrijk vaardigheid in algebra, omdat het je in staat stelt om vertrouwd te raken met het gebruik van radicalen en om te werken met een aantal probleemtypes buiten het gebied van vierkantswortels per se.

Het feit dat het vermenigvuldigen van twee negatieve getallen samen een positief getal oplevert, is belangrijk in de wereld van vierkantswortels omdat het impliceert: dat positieve getallen eigenlijk twee vierkantswortels hebben (de vierkantswortels van 16 zijn bijvoorbeeld 4 en −4, zelfs als alleen de eerste intuïtief is). Evenzo hebben negatieve getallen geen echte vierkantswortels, omdat er geen reëel getal is dat een negatieve waarde aanneemt wanneer het met zichzelf wordt vermenigvuldigd. In deze presentatie wordt de negatieve vierkantswortel van een positief getal genegeerd, zodat "vierkantswortel van 361" kan worden opgevat als "19" in plaats van "−19 en 19".

Wanneer u probeert de waarde van een vierkantswortel te schatten wanneer er geen rekenmachine handig is, is het ook belangrijk om te beseffen dat functies met vierkanten en vierkantswortels niet lineair zijn. Je zult hier later meer over zien in het gedeelte over grafieken, maar als een ruw voorbeeld heb je al opgemerkt dat de vierkantswortel van 100 10 is en de vierkantswortel van 0 0 is. Op het eerste gezicht zou dit ertoe kunnen leiden dat u vermoedt dat de vierkantswortel voor 50 (die halverwege tussen 0 en 100 ligt) 5 moet zijn (die halverwege tussen 0 en 10 ligt). Maar je hebt ook al geleerd dat de vierkantswortel van 50 7,071 is.

Ten slotte heb je misschien het idee geïnternaliseerd dat het vermenigvuldigen van twee getallen samen een getal oplevert groter is dan zichzelf, wat inhoudt dat vierkantswortels van getallen altijd kleiner zijn dan het origineel aantal. Dit is niet het geval! Getallen tussen 0 en 1 hebben ook vierkantswortels, en in elk geval is de vierkantswortel groter dan het oorspronkelijke getal. Dit wordt het gemakkelijkst weergegeven met breuken. 16/25, of 0,64, heeft bijvoorbeeld een perfect vierkant in zowel de teller als de noemer. Dit betekent dat de vierkantswortel van de breuk de vierkantswortel is van de bovenste en onderste componenten, wat 4/5 is. Dit is gelijk aan 0,80, een groter getal dan 0,64.

"De vierkantswortel vanX" wordt meestal geschreven met behulp van wat een radicaal teken wordt genoemd, of alleen een radicaal (√ ). dus voor iedereenX​:

vertegenwoordigt de vierkantswortel. Dit omdraaien, het kwadraat van een getalXwordt geschreven met een exponent van 2 (X​²). Exponenten gebruiken superscripts voor tekstverwerking en aanverwante toepassingen, en worden ook bevoegdheden genoemd. Omdat radicale tekens niet altijd gemakkelijk op aanvraag te produceren zijn, is een andere manier om "de vierkantswortel van" te schrijvenX" is om een ​​exponent te gebruiken:

Dit maakt op zijn beurt deel uit van een algemeen schema:

betekent "verhogen"Xde kracht vanja, neem dan de 'z' wortel ervan."X​^1/2 betekent dus "verhogen"Xtot de eerste macht, wat eenvoudig isXnogmaals, en neem dan de 2 wortel ervan, of de vierkantswortel." Dit uitbreidend,X​^(5/3) betekent "verhogen"Xtot de macht 5, zoek dan de derde wortel (of derdemachtswortel) van het resultaat."

Radicalen kunnen worden gebruikt om andere wortels dan 2, de vierkantswortel, weer te geven. Dit wordt gedaan door simpelweg een superscript toe te voegen aan de linkerbovenhoek van de wortel.

vertegenwoordigt dan hetzelfde getal alsX​^(5/3) uit de vorige paragraaf wel.

De meeste vierkantswortels zijn irrationele getallen. Dit betekent dat het niet alleen geen mooie, nette gehele getallen zijn (bijv. 1, 2, 3, 4.. .), maar ze kunnen ook niet worden uitgedrukt als een netjes decimaal getal dat eindigt zonder te hoeven worden afgerond. Een rationaal getal kan worden uitgedrukt als een breuk. Dus hoewel 2,75 geen geheel getal is, is het een rationaal getal omdat het hetzelfde is als de breuk 11/4. Eerder werd je verteld dat de vierkantswortel van 50 7,071 is, maar dit wordt eigenlijk afgerond op een oneindig aantal decimalen. De exacte waarde van √50 is 5√2, en u zult snel zien hoe dit wordt bepaald.

Je hebt al gezien dat vergelijkingen met vierkanten en vierkantswortels niet-lineair zijn. Een gemakkelijke manier om dit te onthouden is dat de grafieken van de oplossingen van deze vergelijkingen geen lijnen zijn. Dit is logisch, want als, zoals opgemerkt, het kwadraat van 0 0 is en het kwadraat van 10 100 maar het kwadraat van 5 is niet 50, de grafiek die het resultaat is van het kwadrateren van een getal moet zijn weg naar de juiste krommen waarden.

Dit is het geval met de grafiek van

zoals u zelf kunt zien door naar de rekenmachine in de bronnen te gaan en de parameters te wijzigen. De lijn gaat door het punt (0,0), en y gaat niet onder 0, wat je zou verwachten omdat je dat weetX​² is nooit negatief. Je kunt ook zien dat de grafiek symmetrisch is rond deja-as, wat ook logisch is omdat elke positieve vierkantswortel van een bepaald getal gepaard gaat met een negatieve vierkantswortel van gelijke grootte. Daarom, met uitzondering van 0, elkejawaarde op de grafiek vanja​ = ​X​² wordt geassocieerd met tweeX-waarden.

Een manier om fundamentele vierkantswortelproblemen met de hand aan te pakken, is door te zoeken naar perfecte vierkanten die "verborgen" zijn in het probleem. Ten eerste is het belangrijk om je bewust te zijn van een paar essentiële eigenschappen van vierkanten en vierkantswortels. Een daarvan is dat, net als √X​² is gewoon gelijk aanX(omdat de wortel en de exponent elkaar opheffen):

Dat wil zeggen, als je een perfect vierkant hebt onder een radicaal dat een ander getal vermenigvuldigt, kun je het "uittrekken" en het gebruiken als een coëfficiënt van wat overblijft. Bijvoorbeeld terugkeren naar de vierkantswortel van 50

Soms kun je eindigen met een getal met vierkantswortels dat wordt uitgedrukt als een breuk, maar nog steeds een irrationeel getal is omdat de noemer, de teller of beide een radicaal bevatten. In dergelijke gevallen kan u worden gevraagd om de noemer te rationaliseren. Bijvoorbeeld het nummer

heeft een wortel in zowel de teller als de noemer. Maar na het onderzoeken van "45", herken je het misschien als het product van 9 en 5, wat betekent dat:

Daarom kan de breuk worden geschreven

De radicalen heffen elkaar op en je blijft zitten met 6/3 = 2.