Een Taylorreeks is een numerieke methode om een bepaalde functie weer te geven. Deze methode heeft toepassing op veel technische gebieden. In sommige gevallen, zoals warmteoverdracht, resulteert differentiële analyse in een vergelijking die past in de vorm van een Taylor-reeks. Een Taylorreeks kan ook een integraal vertegenwoordigen als de integraal van die functie analytisch niet bestaat. Deze representaties zijn geen exacte waarden, maar het berekenen van meer termen in de reeks zal de benadering nauwkeuriger maken.
Kies een centrum voor de Taylor-reeks. Dit aantal is willekeurig, maar het is een goed idee om een centrum te kiezen met symmetrie in de functie of waar de waarde voor het centrum de wiskunde van het probleem vereenvoudigt. Als u de Taylor-reeksrepresentatie van f (x) = sin (x) berekent, is een goed middelpunt om te gebruiken a = 0.
Bepaal het aantal termen dat u wilt berekenen. Hoe meer termen je gebruikt, hoe nauwkeuriger je weergave zal zijn, maar aangezien een Taylor-reeks een oneindige reeks is, is het onmogelijk om alle mogelijke termen op te nemen. Het sin (x) voorbeeld zal zes termen gebruiken.
Bereken de afgeleiden die je nodig hebt voor de reeks. Voor dit voorbeeld moet u alle afgeleiden berekenen tot en met de zesde afgeleide. Aangezien de Taylor-reeks begint bij "n = 0", moet u de afgeleide "0" opnemen, wat gewoon de oorspronkelijke functie is. 0e afgeleide = sin (x) 1e = cos (x) 2e = -sin (x) 3e = -cos (x) 4e = sin (x) 5e = cos (x) 6e = -sin (x)
Bereken de waarde voor elke afgeleide in het centrum dat je hebt gekozen. Deze waarden zijn de tellers voor de eerste zes termen van de Taylor-reeks. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Gebruik de afgeleide berekeningen en het middelpunt om de termen van de Taylor-reeks te bepalen. 1e termijn; n = 0; (0/0!)(x - 0)^0 = 0/1 2e termijn; n = 1; (1/1!)(x - 0)^1 = x/1! 3e termijn; n = 2; (0/2!)(x - 0)^2 = 0/2! 4e termijn; n = 3; (-1/3!)(x - 0)^3 = -x^3/3! 5e termijn; n = 4; (0/4!)(x - 0)^4 = 0/4! 6e termijn; n = 5; (1/5!)(x - 0)^5 = x^5/5! Taylorreeks voor sin (x): sin (x) = 0 + x/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! + ...
Laat de nultermen in de reeks vallen en vereenvoudig de uitdrukking algebraïsch om de vereenvoudigde weergave van de functie te bepalen. Dit wordt een geheel andere reeks, dus de eerder gebruikte waarden voor "n" zijn niet meer van toepassing. zonde (x) = 0 + x/1! + 0 - (x^3)/3! + 0 +(x^5)/5! +... zonde (x) = x/1! - (x^3)/3! +(x^5)/5! -... Aangezien de tekens afwisselend positief en negatief zijn, moet de eerste component van de vereenvoudigde vergelijking (-1)^n zijn, aangezien er geen even getallen in de reeks zijn. De term (-1)^n resulteert in een negatief teken als n oneven is en een positief teken als n even is. De reeksweergave van oneven getallen is (2n + 1). Wanneer n = 0, is deze term gelijk aan 1; wanneer n = 1, deze term is gelijk aan 3 en zo verder tot oneindig. Gebruik in dit voorbeeld deze representatie voor de exponenten van x en de faculteiten in de noemer
Gebruik de weergave van de functie in plaats van de oorspronkelijke functie. Voor meer geavanceerde en moeilijkere vergelijkingen kan een Taylor-reeks een onoplosbare vergelijking oplosbaar maken, of op zijn minst een redelijke numerieke oplossing geven.