Algebra markeert de eerste echte conceptuele sprong die studenten moeten maken in de wereld van de wiskunde, leren omgaan met variabelen en werken met vergelijkingen. Als je begint te werken met vergelijkingen, zul je een aantal veelvoorkomende uitdagingen tegenkomen, waaronder exponenten, breuken en meerdere variabelen. Al deze kunnen worden beheerst met behulp van een paar basisstrategieën.
De basisstrategie voor algebraïsche vergelijkingen
De basisstrategie voor het oplossen van een algebraïsche vergelijking is om eerst de variabele term aan één kant te isoleren van de vergelijking, en pas vervolgens zo nodig inverse bewerkingen toe om eventuele coëfficiënten of. weg te halen exponenten. Een inverse operatie "ongedaan maken" een andere operatie; bijvoorbeeld deling "ongedaan maken" de vermenigvuldiging van een coëfficiënt en vierkantswortels "ongedaan maken" de kwadratuur van een tweede macht exponent.
Merk op dat als u een bewerking toepast op de ene kant van een vergelijking, u dezelfde bewerking op de andere kant van de vergelijking moet toepassen. Door deze regel te handhaven, kunt u de manier waarop de termen van een vergelijking worden geschreven veranderen zonder hun relatie tot elkaar te veranderen.
Vergelijkingen oplossen met exponenten
De soorten vergelijkingen met exponenten die je tijdens je algebra-reis tegenkomt, kunnen gemakkelijk een heel boek vullen. Richt je voorlopig op het beheersen van de meest elementaire exponentvergelijkingen, waarbij je een enkele variabele term met een exponent hebt. Bijvoorbeeld:
y^2 + 3 = 19
Trek 3 van beide kanten van de vergelijking af, waarbij de variabele term aan één kant geïsoleerd blijft:
y^2 = 16
Strip de exponent weg van de variabele door een radicaal van dezelfde index toe te passen. Onthoud dat je dit aan beide kanten van de vergelijking moet doen. In dit geval betekent dat het nemen van de vierkantswortel van beide zijden:
\sqrt{y^2} = \sqrt{16}
Wat vereenvoudigt tot:
y = 4
Vergelijkingen met breuken oplossen
Wat als je vergelijking een breuk bevat? Denk aan het voorbeeld van
\frac{3}{4}(x + 7) = 6
Als je de breuk 3/4 verdeelt over (X+ 7), kunnen dingen snel rommelig worden. Hier is een veel eenvoudigere strategie.
Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met de noemer van de breuk. In dit geval betekent dat beide zijden van de breuk vermenigvuldigen met 4:
\frac{3}{4}(x + 7) × 4 = 6 × 4
Vereenvoudig beide kanten van de vergelijking. Dit komt neer op:
3(x + 7) = 24
Je kunt weer vereenvoudigen, wat resulteert in:
3x + 21 = 24
Trek 21 van beide kanten af, waarbij de variabele term aan één kant van de vergelijking wordt geïsoleerd:
3x = 3
Deel ten slotte beide zijden van de vergelijking door 3 om het oplossen van te voltooienX:
x = 1
Eén vergelijking oplossen met twee variabelen
Als je hebteenvergelijking met twee variabelen, wordt u waarschijnlijk gevraagd om slechts één van die variabelen op te lossen. In dat geval volgt u vrijwel dezelfde procedure als voor elke algebraïsche vergelijking met één variabele. Overweeg het voorbeeld
5x + 4 = 2j
als je wordt gevraagd om op te lossen voorX.
Trek 3 af van elke kant van de vergelijking, zodat deXterm alleen aan één kant van het gelijkteken:
5x = 2j - 4
Deel beide zijden van de vergelijking door 5 om de coëfficiënt uit de te verwijderenXtermijn:
x = \frac{2y - 4}{5}
Als u geen andere informatie krijgt, is dit voor zover u de berekeningen kunt maken.
Twee vergelijkingen oplossen met twee variabelen
Als u een systeem (of groep) vantweevergelijkingen die dezelfde twee variabelen bevatten, betekent dit meestal dat de vergelijkingen gerelateerd zijn - en u kunt een techniek genaamd substitutie gebruiken om waarden voor beide variabelen te vinden. Beschouw de vergelijking uit het laatste voorbeeld, plus een tweede, gerelateerde vergelijking die dezelfde variabelen gebruikt:
5x + 4 = 2j \\ x + 3j = 23
Kies één vergelijking en los die vergelijking op voor een van de variabelen. Gebruik in dit geval wat je al weet over de eerste vergelijking uit het vorige voorbeeld, waarvoor je al hebt opgelostX:
x = \frac{2y - 4}{5}
Vervang het resultaat van stap 1 in de andere vergelijking. Met andere woorden, vervang de waarde (2ja– 4)/5 voor alle gevallen vanXin de andere vergelijking. Dit geeft je een vergelijking met slechts één variabele:
\frac{2j – 4}{5} + 3j = 23
Vereenvoudig de vergelijking uit stap 2 en los de resterende variabele op, wat in dit geval isj.
Begin door beide zijden te vermenigvuldigen met 5:
5 × \bigg( \frac{2y - 4}{5} + 3y\bigg) = 5 × 23
Dit vereenvoudigt tot:
2j - 4 + 15j = 115
Na het combineren van soortgelijke termen, wordt dit verder vereenvoudigd tot:
17j = 119
En tot slot, nadat je beide zijden door 17 hebt gedeeld, heb je:
y = 7
Vervang de waarde uit stap 3 in de vergelijking uit stap 1. Dit geeft je:
x = \frac{(2 × 7) - 4}{5}
Wat vereenvoudigt om de waarde van te onthullenX:
x = 2
Dus de oplossing voor dit stelsel vergelijkingen isX= 2 enja = 7.