Wat is een ongelijkheid?

Wanneer je begint met het leren van algebra, wordt een gelijkteken gebruikt om, vrij letterlijk, aan te geven dat de twee dingen gelijk aan elkaar zijn. Bijvoorbeeld 3 = 3, 5 = 3 + 2, appel = appel, peer = peer enzovoort, allemaal voorbeelden van vergelijkingen. Ter vergelijking: een ongelijkheid geeft je twee stukjes informatie: Ten eerste, dat de dingen die worden vergeleken zijn:nietgelijk, of in ieder geval niet altijd gelijk; en ten tweede, op welke manier ze ongelijk zijn.

Een ongelijkheid wordt precies zo geschreven als u een vergelijking zou schrijven, behalve dat u in plaats van een isgelijkteken een van de ongelijkheidstekens gebruikt. Ze zijn ">" a.k.a. "groter dan", " en enongelijk.

Een visuele weergave - dat wil zeggen een grafiek - van een ongelijkheid is een andere manier om te visualiseren wat een ongelijkheid werkelijk betekent. Het tekenen van ongelijkheden is ook iets wat je moet doen in de wiskundeles. Stel je de volgende vergelijking voor:

Als je dit zou uittekenen, zou het een diagonale lijn zijn die recht door de oorsprong gaat, schuin omhoog en naar rechts met een helling van 1 of, als je dat liever hebt, 1/1. Alle mogelijke oplossingen voor de vergelijking liggen op die lijn, en alleen op die lijn.

Maar wat als je in plaats van een vergelijking de ongelijkheid had?

Dit specifieke ongelijkheidssymbool wordt gelezen als "kleiner dan of gelijk aan" en vertelt je dat:X​ = ​jais een mogelijke oplossing, samen met elke combinatie waarXis minder danja​.

Dus de lijn die vertegenwoordigtX​ = ​jablijft een mogelijke oplossing, en je zou het zoals gewoonlijk tekenen. Maar u zou ook schaduw geven in het gebied links van de lijn, omdat elke waarde waarXis minder danjais ook opgenomen in uw oplossingen.

Als in plaats vanX​ ≤ ​jaje had de strikte ongelijkheidX​ < ​ja, zou je het precies hetzelfde plotten alsX​ ≤ ​ja,behalve dat omdatX​ = ​jageen optie meer is, zou je die lijn niet stevig doortrekken. In plaats daarvan zou je tekenenX​ = ​jain als een onderbroken of onderbroken lijn, wat aangeeft dat hoewel het geen deel uitmaakt van de oplossingsset, het nog steeds de grens is tussen de geldige oplossingenset (in dit geval links van uw regel) en de niet-oplossingen aan de andere kant van de lijn.

Voor het grootste deel werkt het oplossen van ongelijkheden precies hetzelfde als het oplossen van vergelijkingen. Als u bijvoorbeeld wordt geconfronteerd met de eenvoudige vergelijking:

je zou beide kanten door 2 delen om tot het antwoord te komenX​ = 3.

Je zou hetzelfde doen als je in plaats daarvan geconfronteerd zou worden met dezelfde getallen als een ongelijkheid: zeg, 2X≥ 6. Je zou beide kanten door 2 delen en tot de oplossing komenX≥ 3 of, om het in gewoon Engels op te schrijven,Xstaat voor alle getallen groter dan of gelijk aan 3.

Je kunt ook getallen aan beide kanten van een ongelijkheid optellen en aftrekken, net als bij vergelijkingen, of delen door hetzelfde getal aan beide kanten.

Maar er is één opmerkelijke uitzondering om op te letten: als je beide zijden van een ongelijkheid vermenigvuldigt of deelt door een negatief getal, dan moet je de richting van het ongelijkheidsteken omdraaien. Beschouw bijvoorbeeld de ongelijkheid -4ja​ > 24.

Isolerenja, moet u beide zijden delen door -4. Dat is je trigger om de richting van het ongelijkheidsteken te veranderen. Dus na het delen heb je:

Merk op dat de zojuist gegeven verzameling oplossingen voor de ongelijkheid −7, −8, −7.5, −9.23 en een oneindig aantal andere oplossingen die kleiner zijn dan −6, maar niet −6 zelf, omdat het ongelijkheidsteken geen extra balk heeft voor "of gelijk aan". Dus om uw werk te controleren, moet u ervoor zorgen dat u waarden uit uw oplossing vervangt instellen.

Als je −6 in de oorspronkelijke ongelijkheid vervangt, krijg je −4 × −6 > 24 of 24 > 24, wat niet logisch is. Dat zou ook niet moeten, aangezien −6 niet is opgenomen in de oplossingsset. Maar als je zou beginnen met het vervangen van waarden diezijnopgenomen in de oplossingsset, zoals −7, krijgt u geldige resultaten. Bijvoorbeeld:

wat vereenvoudigt tot:

wat een geldig resultaat is.