Eigenwaarden berekenen

Het concept vaneigenwaardenis obscuur, maar is erg handig voor wiskundigen en natuurwetenschappers die met bepaalde interessante problemen worden geconfronteerd.

Om een ​​eigenwaarde te begrijpen, stel je voor dat je een functie hebt (bijv.ja​ = ​X2 + 6​X, ofja= logboek 4X) dat je een proces zou kunnen doorlopen zodat het resultaat hetzelfde zou zijn als het vermenigvuldigen van de hele functie met een constante waarde. Een dergelijke functie zou kwalificeren als eeneigenfunctie, en de constante zou een eigenwaarde zijn.

  • "Eigen" is Duits voor "hetzelfde".

Om eigenwaarden en eigenfuncties zo goed mogelijk te begrijpen en zelf eigenwaarden te kunnen berekenen, heb je basiskennis van matrices nodig. Deze wiskundige trucs worden gebruikt om bijvoorbeeld de bindingsvolgorde van NO. te bepalen2 (stikstofdioxide) en andere moleculen, omdat het elektronengedrag in atomen wordt bepaald door golffuncties die kwalificeren als eigenfuncties.

Wat is een matrix?

Een matrix is ​​een array van getallen, gerangschikt in rijen en kolommen, die kunnen nummeren van 1 tot

instagram story viewer
nee. De afmetingen van matrices worden rij voor kolom weergegeven; het volgende is bijvoorbeeld een 2-bij-3-matrix:

\begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \end{bmatrix}

Matrices kunnen bij elkaar worden opgeteld als ze even groot zijn (dat wil zeggen, hetzelfde aantal rijen en hetzelfde aantal kolommen hebben). Ze kunnen ook onder dezelfde omstandigheden stapsgewijs worden vermenigvuldigd. Bovendien kan elke matrix worden vermenigvuldigd met een vector, die een 1-op-neeofnee-door-1 matrix; dit omvat andere vectoren.

Wat is een eigenwaardevergelijking?

Zeg dat je een hebtnee-door-neeof "vierkante" matrixEEN, een niet-nulnee-door-1 vectorv, en een scalaireλ, zodat aan de volgende vergelijking wordt voldaan:

\vet{Av} = λ\vet{v}

Elke waarde vanλwaarvoor deze vergelijking een oplossing heeft, staat bekend als een eigenwaarde van de matrixEEN​.

Laat je geest de bovenstaande uitdrukkingen niet als product beschouwen.EENis eenoperatorop, of een lineaire transformatie van, de vectorv, deze berekening is alleen mogelijk omdatEENenvbeide hebbenneerijen.

Waarom eigenwaardefuncties gebruiken?

De afleiding is ingewikkeld, maar in de atomaire chemie wordt de Hamiltoniaanse operator "H-bar" gebruikt om de kinetische en potentiële energie van een systeem uit te drukken:

\hat H=−\dfrac{ℏ}{2m}∇^2+\hat V(x, y, z)

Dit wordt gebruikt om een ​​vorm van de. te schrijvenSchrödinger golffunctievergelijkingin de kwantummechanica:

\hat Hψ(x, y, z)=Eψ(x, y, z)

HierEvertegenwoordigt de eigenwaarden die aan deze vergelijking voldoen.

Manieren om de eigenwaarden van een matrix te vinden

Uit de vergelijking Av = λv, krijg jeEEN​ ​v​ − λ​v=0. Dit leidt tot:

\bold{A v} − λ(\bold{I v})=0

Waarikis de 2-bij-2 identiteitsmatrix met rijen van [λ0] en [0λ], wat leidt tot 1 wanneer vermenigvuldigd met de scalaireλ. Dit resultaat levert:

(\bold{A} - λ\bold{I})\bold{v} = 0

welke alsvis niet nul, heeft alleen een oplossing als de absolute waarde vanEEN​− ​λ​​ik, of |EEN​ − ​λ​​ik|, is nul. Als u dit met de hand doet, moet u een kwadratische vergelijking oplossen en dat kan vervelend zijn.

Om twee matrices met elkaar te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt u voor elk punt in de productmatrix de corresponderende punten met elkaar en voeg dit toe aan de producten van de resterende rij- en kolomelementen in de rij en kolom waarnaar het nieuwe punt behoort.

Bij het vermenigvuldigen van twee 2-bij-2 matricesEENenBsamen, als de eerste rij vanEENis [1 3] en de eerste kolom vanBis [2 5], zou het getal in de eerste kolom en rij van de nieuwe matrix [(1 × 2) +(3 × 5)] = 15 zijn, en overeenkomstig voor de andere drie punten.

Eigenwaarden online berekenen 

In de bronnen vindt u een matrixberekeningstool waarmee u eigenwaarden en meer kunt vinden voor een matrix van bijna elke denkbare grootte.

Teachs.ru
  • Delen
instagram viewer