Er is een belangrijk groot verschil tussen het vinden van de verticale asymptoot(en) van de grafiek van een rationele functie en het vinden van een gat in de grafiek van die functie. Zelfs met de moderne grafische rekenmachines die we hebben, is het erg moeilijk om te zien of te identificeren dat er een gat in de grafiek zit. Dit artikel laat zien hoe u zowel analytisch als grafisch kunt identificeren.
We zullen een gegeven rationele functie als voorbeeld gebruiken om analytisch te laten zien hoe een verticale asymptoot en een gat in de grafiek van die functie te vinden. Laat de rationele functie zijn,... f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6).
Factoriseren van de noemer van f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6). We krijgen de volgende equivalente functie, f (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)]. Als nu de noemer (x-2)(x-3) = 0, dan is de rationele functie Ongedefinieerd, dat wil zeggen in het geval van Delen door nul (0). Zie het artikel 'Hoe te delen door nul (0)', geschreven door dezelfde auteur, Z-MATH.
We zullen opmerken dat Delen door nul alleen ongedefinieerd is als de rationele uitdrukking een teller heeft die niet gelijk is aan nul (0) en de noemer gelijk is aan nul (0), in dit geval zal de grafiek van de functie onbegrensd gaan naar positieve of negatieve oneindigheid bij de waarde x die ervoor zorgt dat de noemer-expressie gelijk is aan nul. Het is bij deze x dat we een verticale lijn tekenen, genaamd de verticale asymptoot.
Als nu de teller en de noemer van de rationele uitdrukking beide nul (0) zijn, voor dezelfde waarde van x, dan is de Delen door nul bij deze waarde van x zou 'betekenisloos' of onbepaald zijn, en we hebben een gat in de grafiek bij deze waarde van x.
Dus, in de Rationele Functie f (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)], zien we dat bij x=2 of x=3, de noemer gelijk is aan nul (0 ). Maar bij x=3 zien we dat de teller gelijk is aan ( 1 ), dat wil zeggen f (3) = 1/0, dus een verticale asymptoot bij x = 3. Maar bij x=2 hebben we f (2) = 0/0, 'zinloos'. Er is een gat in de grafiek bij x = 2.
We kunnen de coördinaten van het Gat vinden door een rationele functie te vinden die equivalent is aan f (x), die allemaal dezelfde punten van f (x) heeft, behalve op het punt op x=2. Dat wil zeggen, laat g (x) = (x-2)/[(x-2)(x-3)], x ≠ 2, dus door te reduceren tot de laagste termen hebben we g (x) = 1/(x- 3). Door x=2 in deze functie in te vullen, krijgen we g (2) = 1/(2-3) = 1/(-1) = -1. dus het Gat in de grafiek van f (x) = (x-2)/(x² - 5x + 6), is op (2,-1).
Dingen die je nodig hebt
- Papier en
- Potlood.