De wortels van een polynoom worden ook wel de nullen genoemd, omdat de wortels de zijnXwaarden waarbij de functie gelijk is aan nul. Als het gaat om het daadwerkelijk vinden van de wortels, heb je meerdere technieken tot je beschikking; factoring is de methode die u het vaakst zult gebruiken, hoewel grafieken ook nuttig kunnen zijn.
Hoeveel wortels?
Onderzoek de term met de hoogste graad van de polynoom - dat wil zeggen, de term met de hoogste exponent. Die exponent is hoeveel wortels de polynoom zal hebben. Dus als de hoogste exponent in je polynoom 2 is, heeft het twee wortels; als de hoogste exponent 3 is, heeft deze drie wortels; enzovoorts.
Waarschuwingen
-
Er is een addertje onder het gras: wortels van een polynoom kunnen echt of denkbeeldig zijn. "Echte" wortels zijn leden van de verzameling die bekend staat als reële getallen, wat op dit punt in je wiskundecarrière elk getal is waarmee je gewend bent om te gaan. Denkbeeldige getallen beheersen is een heel ander onderwerp, dus onthoud voor nu drie dingen:
- "Imaginaire" wortels duiken op als je de vierkantswortel van een negatief getal hebt. Bijvoorbeeld √(-9).
- Denkbeeldige wortels komen altijd in paren voor.
- De wortels van een polynoom kunnen reëel of denkbeeldig zijn. Dus als je een polynoom van de 5e graad hebt, kan het vijf echte wortels hebben, het kan drie echte wortels en twee denkbeeldige wortels hebben, enzovoort.
Vind wortels door factoring: voorbeeld 1
De meest veelzijdige manier om wortels te vinden, is door zoveel mogelijk rekening te houden met je polynoom en vervolgens elke term gelijk te stellen aan nul. Dit is veel logischer als je een paar voorbeelden hebt gevolgd. Beschouw de eenvoudige polynoomX2 – 4X:
Een kort onderzoek toont aan dat u kunt factorXuit beide termen van de polynoom, wat je geeft:
x (x - 4)
Stel elke term in op nul. Dat betekent het oplossen van twee vergelijkingen:
x = 0
is de eerste term ingesteld op nul, en
x - 4 = 0
is de tweede term op nul gezet.
De oplossing voor de eerste termijn heb je al. AlsX= 0, dan is de hele uitdrukking gelijk aan nul. ZoX= 0 is een van de wortels, of nullen, van de veelterm.
Overweeg nu de tweede term en los op voorX. Als je 4 aan beide kanten optelt, heb je:
x - 4 + 4 = 0 + 4
wat vereenvoudigt tot:
x = 4
Dus alsX= 4 dan is de tweede factor gelijk aan nul, wat betekent dat de hele polynoom ook gelijk is aan nul.
Omdat de oorspronkelijke veelterm van de tweede graad was (de hoogste exponent was twee), weet je dat er maar twee mogelijke wortels zijn voor deze veelterm. Je hebt ze allebei al gevonden, dus je hoeft ze alleen maar op te sommen:
x = 0, x = 4
Vind wortels door factoring: voorbeeld 2
Hier is nog een voorbeeld van hoe je wortels kunt vinden door factoring, met behulp van wat mooie algebra onderweg. Beschouw de polynoomX4 – 16. Een snelle blik op de exponenten laat zien dat er vier wortels moeten zijn voor deze polynoom; nu is het tijd om ze te vinden.
Is het je opgevallen dat deze polynoom kan worden herschreven als het verschil van kwadraten? Dus in plaats vanX4 – 16, je hebt:
(x^2)^2 - 4^2
Wat, met behulp van de formule voor het verschil van kwadraten, het volgende uitsluit:
(x^2 - 4)(x^2 + 4)
De eerste term is, nogmaals, een verschil van kwadraten. Dus hoewel je de term aan de rechterkant niet verder kunt ontbinden, kun je de term aan de linkerkant een stap meer ontbinden:
(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)
Nu is het tijd om de nullen te vinden. Het wordt al snel duidelijk dat alsX= 2, zal de eerste factor gelijk zijn aan nul, en dus zal de hele uitdrukking gelijk zijn aan nul.
Evenzo, alsX= −2, de tweede factor is gelijk aan nul en dus ook de hele uitdrukking.
ZoX= 2 enX= −2 zijn beide nullen of wortels van deze veelterm.
Maar hoe zit het met die laatste termijn? Omdat het een "2" exponent heeft, zou het twee wortels moeten hebben. Maar je kunt deze uitdrukking niet ontbinden met de reële getallen die je gewend bent. Je zou een zeer geavanceerd wiskundig concept moeten gebruiken, denkbeeldige getallen of, als je dat liever hebt, complexe getallen. Dat valt ver buiten het bestek van je huidige wiskundepraktijk, dus voor nu is het genoeg om op te merken dat je twee echte wortels (2 en −2) hebt, en twee denkbeeldige wortels die je ongedefinieerd laat.
Vind wortels door grafieken te maken
U kunt wortels ook vinden, of op zijn minst schatten door grafieken te maken. Elke wortel vertegenwoordigt een plek waar de grafiek van de functie de kruistXas. Dus als je de lijn uittekent en dan noteertXcoördinaten waar de lijn de kruistXas, kunt u de geschatteXwaarden van die punten in uw vergelijking en controleer of u ze correct hebt gekregen.
Beschouw het eerste voorbeeld dat je hebt gewerkt, voor de polynoomX2 – 4X. Als je het voorzichtig uittekent, zul je zien dat de lijn de kruistXas bijX= 0 enX= 4. Als u elk van deze waarden in de oorspronkelijke vergelijking invoert, krijgt u:
0^2 - 4(0) = 0
zoX= 0 was een geldige nul of wortel voor deze polynoom.
4^2 - 4(4) = 0
zoX= 4 is ook een geldige nul of wortel voor deze veelterm. En omdat de polynoom van graad 2 was, weet je dat je kunt stoppen met zoeken na het vinden van twee wortels.