De vergelijking van een vlak in de driedimensionale ruimte kan in algebraïsche notatie worden geschreven als ax + by + cz = d, waarbij ten minste één van de reële-getalconstanten "a", "b" en "c" mogen niet nul zijn, en "x", "y" en "z" vertegenwoordigen de assen van de driedimensionale vliegtuig. Als er drie punten zijn gegeven, kun je het vlak bepalen met behulp van vectorkruisproducten. Een vector is een lijn in de ruimte. Een uitwendig product is de vermenigvuldiging van twee vectoren.
Haal de drie punten op het vliegtuig. Label ze "A", "B" en "C." Neem bijvoorbeeld aan dat deze punten A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); en C = (1, 3, 4).
Zoek twee verschillende vectoren in het vliegtuig. Kies in het voorbeeld de vectoren AB en AC. Vector AB gaat van punt A naar punt B en vector AC gaat van punt A naar punt C. Dus trek elke coördinaat in punt A af van elke coördinaat in punt B om vector AB te krijgen: (-2, 3, 1). Evenzo is vector AC punt-C minus punt-A, of (-2, 2, 3).
Bereken het uitwendige product van de twee vectoren om een nieuwe vector te krijgen, die normaal (of loodrecht of orthogonaal) is op elk van de twee vectoren en ook op het vlak. Het uitwendig product van twee vectoren, (a1, a2, a3) en (b1, b2, b3), wordt gegeven door N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). In het voorbeeld is het uitwendige product, N, van AB en AC i[(3 x 3) - (1 x 2)] + j[(1 x -2) - (-2 x 3)] + k[( -2 x 2) - (3x - 2)], wat vereenvoudigt tot N = 7i + 4j + 2k. Merk op dat "i", "j" en "k" worden gebruikt om vectorcoördinaten weer te geven.
Leid de vergelijking van het vlak af. De vergelijking van het vlak is Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, waarbij (a1, a2, a3) een willekeurig punt in het vlak is en (Ni, Nj, Nk ) is de normaalvector, N. In het voorbeeld, met gebruik van punt C, dat is (1, 3, 4), is de vergelijking van het vlak 7(x - 1) + 4(y - 3) + 2(z - 4) = 0, wat vereenvoudigt tot 7x - 7 + 4j - 12 + 2z - 8 = 0, of 7x + 4j + 2z = 27.
Verifieer je antwoord. Vervang de originele punten om te zien of ze voldoen aan de vergelijking van het vlak. Om het voorbeeld af te sluiten, als je een van de drie punten vervangt, zul je zien dat inderdaad aan de vergelijking van het vlak is voldaan.
Tips
Zie bronnen voor tips over het gebruik van stelsels van drie gelijktijdige vergelijkingen om de vergelijking van een vlak te vinden.
