In een geometrische reeks is elke term gelijk aan de vorige term maal een constante, niet-nul vermenigvuldiger die de gemeenschappelijke factor wordt genoemd. Geometrische reeksen kunnen een vast aantal termen hebben, of ze kunnen oneindig zijn. In beide gevallen kunnen de termen van een geometrische reeks snel heel groot, heel negatief of heel dicht bij nul worden. In vergelijking met rekenkundige reeksen veranderen de termen veel sneller, maar terwijl oneindige rekenkunde reeksen nemen gestaag toe of af, geometrische reeksen kunnen nul naderen, afhankelijk van de gemeenschappelijke factor.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Een geometrische reeks is een geordende lijst van getallen waarin elke term het product is van de vorige term en een vaste vermenigvuldiger die niet nul is, de gemeenschappelijke factor. Elke term van een meetkundige reeks is het meetkundige gemiddelde van de voorgaande en volgende termen. Oneindige geometrische reeksen met een gemeenschappelijke factor tussen +1 en −1 naderen de limiet van nul als termen worden toegevoegd terwijl reeksen met een gemeenschappelijke factor groter dan +1 of kleiner dan −1 naar plus of min gaan oneindigheid.
Hoe geometrische reeksen werken
Een geometrische reeks wordt gedefinieerd door zijn startnummereen, de gemeenschappelijke factorren het aantal termenS. De overeenkomstige algemene vorm van een meetkundige rij is:
a, ar, ar ^ 2, ar ^ 3,..., zijn^{S-1}
De algemene formule voor termneevan een geometrische reeks (d.w.z. elke term binnen die reeks) is:
a_n = ar^{n-1}
De recursieve formule, die een term definieert ten opzichte van de vorige term, is:
a_n = ra_{n-1}
Een voorbeeld van een geometrische reeks met startnummer 3, gemeenschappelijke factor 2 en acht termen is 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Door de laatste term te berekenen met behulp van de hierboven genoemde algemene vorm, is de term:
a_8 = 3 × 2^{8-1} = 3 × 2^7 = 3 × 128 = 384
Gebruik de algemene formule voor term 4:
a_4 = 3 × 2^{4-1} = 3 × 2^3 = 3 × 8 = 24
Als je de recursieve formule voor term 5 wilt gebruiken, dan is term 4 = 24, en a5 gelijk aan:
a_5= 2 × 24 = 48
Eigenschappen geometrische reeks
Geometrische reeksen hebben speciale eigenschappen wat betreft het geometrische gemiddelde. Het geometrische gemiddelde van twee getallen is de vierkantswortel van hun product. Het geometrische gemiddelde van 5 en 20 is bijvoorbeeld 10 omdat het product 5 × 20 = 100 en de vierkantswortel van 100 10 is.
In geometrische reeksen is elke term het geometrische gemiddelde van de term ervoor en de term erna. Bijvoorbeeld in de reeks 3, 6, 12... hierboven is 6 het geometrische gemiddelde van 3 en 12, 12 is het geometrische gemiddelde van 6 en 24 en 24 is het geometrische gemiddelde van 12 en 48.
Andere eigenschappen van geometrische reeksen zijn afhankelijk van de gemeenschappelijke factor. Als de gemeenschappelijke factorrgroter is dan 1, zullen oneindige geometrische reeksen de positieve oneindigheid naderen. Alsrtussen 0 en 1 ligt, zullen de rijen nul naderen. Alsrtussen nul en -1 ligt, zullen de reeksen nul naderen, maar de termen zullen wisselen tussen positieve en negatieve waarden. Alsrkleiner is dan -1, zullen de termen in de richting van zowel positieve als negatieve oneindigheid neigen terwijl ze afwisselen tussen positieve en negatieve waarden.
Geometrische reeksen en hun eigenschappen zijn vooral nuttig in wetenschappelijke en wiskundige modellen van processen in de echte wereld. Het gebruik van specifieke sequenties kan helpen bij het bestuderen van populaties die in een bepaalde periode met een vaste snelheid groeien of bij investeringen die rente opleveren. De algemene en recursieve formules maken het mogelijk om nauwkeurige waarden in de toekomst te voorspellen op basis van het startpunt en de gemeenschappelijke factor.