Een van de belangrijke bewerkingen die u in calculus uitvoert, is het vinden van afgeleiden. De afgeleide van een functie wordt ook wel de veranderingssnelheid van die functie genoemd. Als x (t) bijvoorbeeld de positie is van een auto op enig moment t, dan is de afgeleide van x, die wordt geschreven als dx/dt, de snelheid van de auto. Ook kan de afgeleide worden gevisualiseerd als de helling van een lijn die de grafiek van een functie raakt. Op theoretisch niveau vinden wiskundigen zo derivaten. In de praktijk gebruiken wiskundigen sets met basisregels en opzoektabellen.
De afgeleide als helling
De helling van een lijn tussen twee punten is de stijging, of het verschil in y-waarden gedeeld door de run, of het verschil in x-waarden. De helling van een functie y (x) voor een bepaalde waarde van x wordt gedefinieerd als de helling van een lijn die raakt aan de functie in het punt [x, y (x)]. Om de helling te berekenen, construeert u een lijn tussen het punt [x, y (x)] en een nabijgelegen punt [x+h, y (x+h)], waarbij h een heel klein getal is. Voor deze lijn is de run, of verandering in x-waarde h, en de stijging, of verandering in y-waarde, is y (x+h) - y (x). Bijgevolg is de helling van y (x) in het punt [x, y (x)] ongeveer gelijk aan [y (x+h) - y (x)]/[(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)]/u. Om de helling precies te krijgen, berekent u de waarde van de helling naarmate h kleiner en kleiner wordt, tot de "limiet" waar deze naar nul gaat. De helling die op deze manier wordt berekend, is de afgeleide van y (x), die wordt geschreven als y'(x) of dy/dx.
De afgeleide van een machtsfunctie
U kunt de helling/limietmethode gebruiken om de afgeleiden te berekenen van functies waarbij y gelijk is aan x tot de macht van a, of y (x) = x^a. Als y bijvoorbeeld gelijk is aan x in blokjes, y (x) = x^3, dan is dy/dx de limiet als h naar nul gaat van [(x + h)^3 - x^3]/h. Uitbreiden (x+h)^3 geeft [x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3]/h, wat na deling vermindert tot 3x^2 + 3xh^2 + h^2 door H. In de limiet als h naar nul gaat, gaan alle termen met h erin ook naar nul. Dus, y'(x) = dy/dx = 3x^2. Je kunt dit doen voor waarden van een andere dan 3, en in het algemeen kun je laten zien dat d/dx (x^a) = (a - 1)x^(a-1).
Afgeleide van een Power Series
Veel functies kunnen worden geschreven als een zogenaamde machtreeks, die de som is van een oneindig aantal termen, waarbij: elk is van de vorm C(n) x^n, waarbij x een variabele is, n een geheel getal is en C(n) een specifiek getal is voor elke waarde van zn. De machtreeks voor de sinusfunctie is bijvoorbeeld Sin (x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 +..., waarbij "..." termen betekent die doorgaan op tot het oneindige. Als je de machtreeks voor een functie kent, kun je de afgeleide van de macht x^n gebruiken om de afgeleide van de functie te berekenen. De afgeleide van Sin (x) is bijvoorbeeld gelijk aan 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 +..., wat toevallig de machtreeks is voor Cos (x).
Derivaten van tabellen
De afgeleiden van basisfuncties zoals machten zoals x^a, exponentiële functies, logfuncties en trigonale functies, worden gevonden met behulp van de helling/limietmethode, de machtreeksmethode of andere methoden. Deze derivaten worden vervolgens in tabellen weergegeven. Je kunt bijvoorbeeld opzoeken dat de afgeleide van Sin (x) Cos (x) is. Wanneer complexe functies combinaties zijn van de basisfuncties, heeft u speciale regels nodig zoals de kettingregel en productregel, die ook in de tabellen worden gegeven. U gebruikt bijvoorbeeld de kettingregel om te bepalen dat de afgeleide van Sin (x^2) 2xCos (x^2) is. Je gebruikt de productregel om te bepalen dat de afgeleide van xSin (x) xCos (x) + Sin (x) is. Met behulp van tabellen en eenvoudige regels kun je de afgeleide van elke functie vinden. Maar wanneer een functie extreem complex is, nemen wetenschappers soms hun toevlucht tot computerprogramma's voor hulp.