Als je begint met drie vergelijkingen en drie onbekenden (variabelen), denk je misschien dat je genoeg informatie hebt om alle variabelen op te lossen. Wanneer u echter een stelsel lineaire vergelijkingen oplost met behulp van de eliminatiemethode, kan het zijn dat het stelsel is niet voldoende vastbesloten om één uniek antwoord te vinden, en in plaats daarvan is een oneindig aantal oplossingen mogelijk. Dit gebeurt wanneer de informatie in een van de vergelijkingen in het systeem overbodig is ten opzichte van de informatie in de andere vergelijkingen.
Een 2x2 voorbeeld
3x+2y=5 6x+4y=10 Dit stelsel vergelijkingen is duidelijk overbodig. Je kunt de ene vergelijking van de andere maken door gewoon te vermenigvuldigen met een constante. Met andere woorden, ze brengen dezelfde informatie over. Ondanks dat er twee vergelijkingen zijn voor de twee onbekenden, x en y, kan de oplossing van dit systeem niet worden beperkt tot één waarde voor x en één waarde voor y. (x, y)=(1,1) en (5/3,0) lossen het beide op, net als veel meer oplossingen. Dit is het soort 'probleem', dit gebrek aan informatie, dat ook in grotere stelsels van vergelijkingen tot een oneindig aantal oplossingen leidt.
Een 3x3 voorbeeld
x+y+z=10 x-y+z=0 x_+_z=5 [Onderstrepingstekens worden alleen gebruikt om de afstand te behouden.] Door de eliminatiemethode, verwijder x uit de tweede rij door de tweede rij van de eerste af te trekken, waardoor x+y+z=10 _2y=10 x_+z=5 Elimineer x van de derde rij door de derde rij van de eerste af te trekken. x+y+z=10 _2y=10 ja=5 Het is duidelijk dat de laatste twee vergelijkingen equivalent zijn. y is gelijk aan 5, en de eerste vergelijking kan worden vereenvoudigd door y te elimineren. x+5+z=10 y__=5 of x+z=5 y=5 Merk op dat de eliminatiemethode hier geen mooie driehoekige vorm oplevert, zoals bij één unieke oplossing. In plaats daarvan zal de laatste vergelijking (zo niet meer) zelf worden opgenomen in de andere vergelijkingen. Het systeem bestaat nu uit drie onbekenden en slechts twee vergelijkingen. Het systeem wordt "onderbepaald" genoemd omdat er niet genoeg vergelijkingen zijn om de waarde van alle variabelen te bepalen. Er zijn oneindig veel oplossingen mogelijk.
Hoe de oneindige oplossing te schrijven
De oneindige oplossing voor het bovenstaande systeem kan worden geschreven in termen van één variabele. Een manier om het te schrijven is (x, y, z)=(x, 5,5-x). Omdat x een oneindig aantal waarden kan aannemen, kan de oplossing een oneindig aantal waarden aannemen.