Wiskundigen bedachten denkbeeldige getallen om algebraproblemen op te lossen die anders onoplosbaar waren. Als je een denkbeeldig getal kwadrateert, krijg je een negatief getal. Hoewel ze in het begin misschien een beetje vreemd lijken, hebben denkbeeldige getallen veel belangrijke praktische toepassingen in wiskunde, wetenschappen en techniek.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Wanneer u een denkbeeldig getal kwadrateert, is het resultaat een negatief getal.
Echte getallen
In het dagelijks leven heb je meestal te maken met reële getallen: de temperatuur buiten, de afstand tot het huis van een vriend of het aantal centen in je wisselgeldpot. Deze getallen vertegenwoordigen echte objecten en verschijnselen. Naast de hele getallen die we gebruiken voor het tellen, bevatten reële getallen nul en negatieve getallen. Sommige getallen zijn rationeel; je krijgt ze door het ene geheel getal door het andere te delen. Andere nummers, zoals pi, e, en de vierkantswortel van 2 zijn irrationeel. Er bestaat voor hen geen gehele getalverhouding. Het kan helpen om reële getallen af te beelden als markeringen op een oneindig lange lijn, met nul in het midden.
Denkbeeldige getallen
Aan het eind van de 16e eeuw ontdekten wiskundigen het bestaan van denkbeeldige getallen. Denkbeeldige getallen zijn nodig om vergelijkingen zoals x ^ 2 + 1 = 0 op te lossen. Om denkbeeldige getallen van echte te onderscheiden, gebruiken wiskundigen de letter ik, meestal cursief, zoals ik, 3i, 8.4i, waar ik is de vierkantswortel van -1 en het getal ervoor dient als vermenigvuldiger. 8.4i is bijvoorbeeld de vierkantswortel van -8,4. Sommige technische disciplines zoals elektrotechniek gebruiken liever de letter j in plaats van ik. Ze verschillen niet alleen van reële getallen, maar ook denkbeeldige getallen hebben hun eigen getallenlijn.
De denkbeeldige getallenlijn
In wiskunde bestaat er een lijn van denkbeeldige getallen die veel lijkt op de echte getallenlijn. De twee lijnen staan haaks op elkaar, zoals de x- en y-assen van een grafiek. Ze snijden elkaar op de nulpunten van elke lijn. Deze getallenlijnen helpen je je voor te stellen hoe echte en denkbeeldige getallen werken.
Complexe getallen: de vlakke waarheid
Op zichzelf nemen de reële en imaginaire getallenlijnen, zoals elke lijn in de geometrie, één dimensie in beslag en hebben ze een oneindige lengte. Samen vormen de twee getallenlijnen wat wiskundigen het complexe getallenvlak noemen - twee dimensies die elk getal beschrijven, of het nu echt, denkbeeldig of complex is. 72,15 is bijvoorbeeld een reëel getal en -15i is een denkbeeldig getal. Voor deze twee getallen kun je een punt vinden op het complexe getallenvlak: 72.15, -15i. Merk op dat dit getal zich op het vlak bevindt, niet direct op de denkbeeldige of reële getallenlijnen. Het is als San Francisco, dat een lengte- en breedtegraad heeft, maar niet op de evenaar of de nulmeridiaan ligt.
Regels voor denkbeeldige getallen
Denkbeeldige en complexe getallen werken net als echte. Je kunt ze in elke combinatie optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Ze volgen de normale regels van wiskunde, met de rimpel dat denkbeeldige getallen, in het kwadraat, een negatief antwoord geven.
Denkbeeldige getallen, echt gebruik
Denkbeeldige getallen zijn handige hulpmiddelen die helpen bij het oplossen van moeilijke wiskundige problemen. In de elektronica maken vergelijkingen die wisselstroomcircuits beschrijven gebruik van denkbeeldige en complexe getallenwiskunde. Natuurkundigen gebruiken complexe getallen bij het omgaan met elektromagnetische golven, die eigenschappen van elektriciteit en magnetisme combineren. Kwantummechanica, de studie van subatomaire deeltjes, maakt ook gebruik van complexe getallen. In de meetkunde omvat de studie van fractale vormen die meanderen en vertakken in verschillende richtingen complexe getallenwiskunde.