Een positieve exponent vertelt je hoe vaak je het grondtal met zichzelf moet vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld, de exponentiële termja3 is hetzelfde alsja × ja × ja, ofjatweemaal met zichzelf vermenigvuldigd. Als je dat basisconcept eenmaal hebt begrepen, kun je beginnen met het toevoegen van extra lagen, zoals negatieve exponenten, fractionele exponenten of zelfs een combinatie van beide.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Een negatieve, fractionele exponentja −m/nee kan worden verwerkt in de vorm:
1 / (nee√ja)m
Negatieve krachten in rekening brengen
Laten we, voordat we negatieve, fractionele exponenten ontbinden, eens kijken hoe we negatieve exponenten of negatieve machten in het algemeen kunnen ontbinden. Een negatieve exponent doet precies het omgekeerde van een positieve exponent. Dus terwijl een positieve exponent zoalseen4 zegt dat je moet vermenigvuldigeneenop zichzelf drie keer (dus er zijn er in totaal vier in de uitdrukking), ofeen × een × een × een,het zien van een negatieve exponent zegt dat je moetverdelendooreenvier keer: dus
a^{-4} = \frac{1}{a × a × a × a}
Of, om het wat formeler te zeggen:
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
Factoring van fractionele exponenten
De volgende stap is leren fractionele exponenten te ontbinden. Laten we beginnen met een heel eenvoudige fractionele exponent, zoalsX1/ja. Als je zo'n fractionele exponent ziet, betekent dit dat je de moet nemenjade wortel van het grondtal. Om het wat formeler te zeggen:
x^{1/y} = \sqrt[y]{x}
Als dat verwarrend lijkt, kunnen een paar meer concrete voorbeelden helpen:
y^{1/3} = \sqrt[3]{y} \\ b^{1/2 }= \sqrt{b}
(Vergeet niet,Xis hetzelfde als 2√X;maar deze uitdrukking is zo gewoon dat de 2, of indexnummer, wordt weggelaten.)
8^{1/3} = \sqrt[3]{8 }= 2
Wat als de teller van de fractionele exponent niet 1 is? Dan blijft de waarde van dat getal als een exponent, toegepast op de hele "root" -term. Formeel betekent dat:
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
Beschouw dit als een meer concreet voorbeeld:
a^{b/5} = (\sqrt[5]{a})^b
Negatieve en fractionele exponenten combineren
Als het gaat om het ontbinden van negatieve exponenten met breuken, kun je combineren wat je hebt geleerd over het ontbinden van uitdrukkingen met negatieve exponenten en die met fractionele exponenten.
Onthouden,
x^{-y} = \frac{1}{x^y}
ongeacht wat er in dejaplek;jakan zelfs een fractie zijn.
Dus als je een uitdrukking hebtX −een/b, dat is gelijk aan 1/(Xeen/b). Maar je kunt een stap verder vereenvoudigen door ook wat je weet over fractionele exponenten toe te passen op de term in de noemer van de breuk.
Onthouden,
y^{m/n} = (\sqrt[n]{y})^m
of, om de variabelen te gebruiken waar je al mee te maken hebt,
x^{a/b} = (\sqrt[b]{x})^a
Dus, die stap verder gaan in het vereenvoudigenX −een/b, jij hebt
x^{-a/b} = \frac{1}{x^{a/b}} = \frac{1}{(\sqrt[b]{x})^a}
Dat is zo ver als je kunt vereenvoudigen zonder er meer over te wetenX, bofeen.Maar als u meer weet over een van deze termen, kunt u wellicht verder vereenvoudigen.
Nog een voorbeeld van het vereenvoudigen van fractionele negatieve exponenten
Om dat te illustreren, is hier nog een voorbeeld met wat meer informatie:
Makkelijker maken
16^{-4/8}
Ten eerste, is het je opgevallen dat −4/8 kan worden teruggebracht tot −1/2? Dus je hebt 16 −1/2, die er al een stuk vriendelijker (en misschien zelfs meer bekend) uitziet dan het oorspronkelijke probleem.
Vereenvoudigend als voorheen, kom je bij
16^{-1/2} = \frac{1}{(\sqrt[2]{16})^1}
die meestal eenvoudig wordt geschreven als
\frac{1}{\sqrt{16}}
En aangezien je weet (of snel kunt berekenen) dat √16 = 4, kun je die laatste stap vereenvoudigen tot:
16^{-4/8} = \frac{1}{4}