In de wiskunde is een functie een regel die elk element in één set, het domein genaamd, relateert aan precies één element in een andere set, het bereik genoemd. Op eenX-jaas, wordt het domein weergegeven op deX-as (horizontale as) en het domein op deja-as (verticale as). Een regel die één element in het domein relateert aan meer dan één element in het bereik, is geen functie. Deze vereiste betekent dat, als u een functie tekent, u geen verticale lijn kunt vinden die de grafiek op meer dan één plaats kruist.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Een relatie is alleen een functie als het elk element in zijn domein relateert aan slechts één element in het bereik. Wanneer u een functie tekent, snijdt een verticale lijn deze op slechts één punt.
Wiskundige weergave
Wiskundigen stellen functies meestal voor met de letters "f(X),", hoewel andere letters net zo goed werken. Je leest de letters als "fvanX." Als u ervoor kiest om de functie weer te geven alsg(ja), zou je het lezen als "gvanja." De vergelijking voor de functie definieert de regel waarmee de invoerwaarde
Xwordt omgezet in een ander nummer. Er zijn oneindig veel manieren om dit te doen. Hier zijn drie voorbeelden:f (x) = 2x \\ \,\\ g (y) = y^2 + 2y + 1 \\ \,\\ p (m) = \frac{1}{\sqrt{m - 3}}
Het domein bepalen
De reeks getallen waarvoor de functie "werkt" is het domein. Dit kunnen alle getallen zijn, of het kan een specifieke reeks getallen zijn. Het domein kan ook alle nummers zijn, behalve een of twee waarvoor de functie niet werkt. Bijvoorbeeld het domein voor de functie
f (x) = \frac{1}{2-x}
is alle getallen behalve 2, want als je er twee invoert, is de noemer 0 en is het resultaat niet gedefinieerd. Het domein voor
\frac{1}{4 - x^2}
aan de andere kant zijn alle getallen behalve +2 en −2 omdat het kwadraat van beide getallen 4.
U kunt het domein van een functie ook identificeren door naar de grafiek te kijken. Begin helemaal links en ga naar rechts en trek verticale lijnen door deX-as. Het domein is alle waarden vanXwaarvoor de lijn de grafiek snijdt.
Wanneer is een relatie geen functie?
Per definitie relateert een functie elk element in het domein aan slechts één element in het bereik. Dit betekent dat elke verticale lijn die u door deX-as kan de functie slechts op één punt snijden. Dit werkt voor alle lineaire vergelijkingen en vergelijkingen met een hoger vermogen waarin alleen de x-term wordt verheven tot een exponent. Het werkt niet altijd voor vergelijkingen waarin zowel deXenjatermen worden tot een macht verheven. Bijvoorbeeld,X2 + ja2 = een2 definieert een cirkel. Een verticale lijn kan een cirkel op meer dan één punt snijden, dus deze vergelijking is geen functie.
Over het algemeen is een relatief(X) = jais alleen een functie als, voor elke waarde vanXdat u erop aansluit, krijgt u maar één waarde voorja. Soms is de enige manier om te zien of een gegeven relatie een functie is of niet, door verschillende waarden voor x te proberen om te zien of ze unieke waarden opleveren voorja.
Voorbeelden:Definiëren de volgende vergelijkingen functies?
y = 2x +1
Dit is de vergelijking van een rechte lijn met helling 2 enja-onderschep 1, dus hetISeen functie.
y^2 = x + 1
LaatX= 3. De waarde voor y kan dan ±2 zijn, dus ditIS NIETeen functie.
y^3 = x^2
Het maakt niet uit voor welke waarde we ons stellenX, we krijgen maar één waarde voorja, dus ditISeen functie.
y^2 = x^2
Omdatja = ±√X2, ditIS NIETeen functie.