Leren omgaan met exponenten vormt een integraal onderdeel van elk wiskundeonderwijs, maar gelukkig komen de regels voor vermenigvuldigen en delen overeen met de regels voor niet-fractionele exponenten. De eerste stap om te begrijpen hoe om te gaan met fractionele exponenten is een overzicht krijgen van wat ze precies zijn, en dan kun je kijken naar de manieren waarop je exponenten kunt combineren wanneer ze worden vermenigvuldigd of gedeeld en ze hetzelfde hebben baseren. Kortom, je telt de exponenten bij elkaar op bij het vermenigvuldigen en trekt de een van de ander af bij het delen, op voorwaarde dat ze hetzelfde grondtal hebben.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Vermenigvuldig termen met exponenten met behulp van de algemene regel:
Xeen + Xb = X(een + b)
En deel termen met exponenten met behulp van de regel:
Xeen ÷ Xb = X(een – b)
Deze regels werken met elke uitdrukking in plaats vaneenenb, zelfs breuken.
Wat zijn fractionele exponenten?
Fractionele exponenten bieden een compacte en handige manier om vierkants-, kubus- en hogere wortels uit te drukken. De noemer op de exponent vertelt u welke wortel van het "basis" -getal de term vertegenwoordigt. In een term als
Xeen, je beltXde basis eneende exponent. Dus een fractionele exponent vertelt je:x^{1/2} = \sqrt{x}
De noemer van twee op de exponent vertelt je dat je de vierkantswortel neemt vanXin deze uitdrukking. Dezelfde basisregel geldt voor hogere wortels:
x^{1/3} = \sqrt[3]{x}
En
x^{1/4} = \sqrt[4]{x}
Dit patroon zet zich voort. Voor een concreet voorbeeld:
9^{1/2} = \sqrt{9}=3
En
8^{1/3} = \sqrt[3]{8}=2
Breukexponentenregels: fractionele exponenten vermenigvuldigen met dezelfde basis
Vermenigvuldig termen met fractionele exponenten (op voorwaarde dat ze dezelfde basis hebben) door de exponenten bij elkaar op te tellen. Bijvoorbeeld:
x^{1/3} × x^{1/3} × x^{1/3} = x^{(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x^1 = x
SindsX1/3 betekent "de derdemachtswortel van"X”, het is volkomen logisch dat dit tweemaal vermenigvuldigd met zichzelf het resultaat geeftX. U kunt ook voorbeelden tegenkomen zoals:X1/3 × X1/3, maar daar ga je op precies dezelfde manier mee om:
x^{1/3} × x^{1/3} = x^{( 1/3 + 1/3)} \\ = x^{2/3}
Het feit dat de uitdrukking aan het einde nog steeds een fractionele exponent is, maakt voor het proces geen verschil. Dit kan worden vereenvoudigd als u opmerkt dat:X2/3 = (X1/3)2 = ∛X2. Met een uitdrukking als deze maakt het niet uit of je eerst de wortel of de kracht neemt. Dit voorbeeld illustreert hoe u deze kunt berekenen:
8^{1/3} + 8^{1/3} = 8^{2/3} \\ = (\sqrt[3]{8})^2
Aangezien de derdemachtswortel van 8 gemakkelijk te berekenen is, pak je dit als volgt aan:
(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4
Dit betekent dus:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
U kunt ook producten van fractionele exponenten met verschillende getallen in de noemers van de breuken tegenkomen, en u kunt deze exponenten op dezelfde manier toevoegen als andere breuken. Bijvoorbeeld:
\begin{uitgelijnd} x^{1/4} × x^{1/2} &= x^{(1/4 + 1/2)} \\ &= x^{(1/4 + 2/4 )} \\ &= x^{3/4} \end{uitgelijnd}
Dit zijn allemaal specifieke uitdrukkingen van de algemene regel voor het vermenigvuldigen van twee uitdrukkingen met exponenten:
x^a + x^b = x^{(a + b)}
Breukexponentenregels: fractionele exponenten delen met dezelfde basis Same
Pak deling van twee getallen aan met fractionele exponenten door de exponent die je deelt (de deler) af te trekken door degene die je deelt (het deeltal). Bijvoorbeeld:
x^{1/2} ÷ x^{1/2} = x^{(1/2 - 1/2)} \\ = x^0 = 1
Dit is logisch, want elk getal gedeeld door zichzelf is gelijk aan één, en dit komt overeen met het standaardresultaat dat elk getal tot een macht van 0 gelijk is aan één. Het volgende voorbeeld gebruikt getallen als grondtalen en verschillende exponenten:
\begin{uitgelijnd} 16^{1/2} ÷ 16^{1/4} &= 16^{(1/2 - 1/4)} \\ &= 16^{(2/4 - 1/4) )} \\ &= 16^{1/4} \\ &= 2 \end{uitgelijnd}
Wat je ook kunt zien als je opmerkt dat 161/2 = 4 en 161/4 = 2.
Net als bij vermenigvuldigen, kun je ook eindigen met fractionele exponenten die een ander getal dan één in de teller hebben, maar je gaat hier op dezelfde manier mee om.
Deze drukken eenvoudig de algemene regel uit voor het delen van exponenten:
x^a ÷ x^b = x^{(a - b)}
Vermenigvuldigen en delen van fractionele exponenten in verschillende basen
Als de basis van de termen verschillend is, is er geen gemakkelijke manier om exponenten te vermenigvuldigen of te delen. Bereken in deze gevallen gewoon de waarde van de afzonderlijke termen en voer vervolgens de vereiste bewerking uit. De enige uitzondering is als de exponent hetzelfde is, in welk geval je ze als volgt kunt vermenigvuldigen of delen:
x^4 × y^4 = (xy)^4 \\ x^4 ÷ y^4 = (x ÷ y)^4