Trucs voor het factoriseren van kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen zijn formules die kunnen worden geschreven in de vorm Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Soms kan een kwadratische vergelijking worden vereenvoudigd door factoring of door de vergelijking uit te drukken als een product van afzonderlijke termen. Dit kan de vergelijking gemakkelijker op te lossen maken. Factoren kunnen soms moeilijk te identificeren zijn, maar er zijn trucs die het proces gemakkelijker kunnen maken.

Onderzoek de kwadratische vergelijking om te bepalen of er een getal en/of variabele is die elke term van de vergelijking kan verdelen. Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking 2x^2 + 10x + 8 = 0. Het grootste getal dat gelijkmatig in elke term van de vergelijking kan worden verdeeld, is 2, dus 2 is de grootste gemene deler (GCF).

Deel elke term in de vergelijking door de GCF en vermenigvuldig de hele vergelijking met de GCF. In de voorbeeldvergelijking 2x^2 + 10x + 8 = 0, zou dit resulteren in 2((2/2)x^2 + (10/2)x + (8/2)) = 2(0/2).

Vereenvoudig de uitdrukking door de deling in elke term in te vullen. Er mogen geen breuken in de uiteindelijke vergelijking voorkomen. In het voorbeeld zou dit resulteren in 2(x^2 + 5x + 4) = 0.

Bestudeer de kwadratische vergelijking om te zien of deze de vorm heeft Ax ^ 2 + 0x - C = 0, waarbij A = y ^ 2 en C = z ^ 2. Als dit het geval is, drukt de kwadratische vergelijking het verschil uit van twee kwadraten. Bijvoorbeeld, in de vergelijking 4x^2 + 0x – 9 = 0, A = 4 = 2^2 en C = 9 = 3^2, dus y = 2 en z = 3.

Factor de vergelijking in de vorm (yx + z)(yx – z) = 0. In de voorbeeldvergelijking, y = 2 en z = 3; daarom is de gekwadrateerde kwadratische vergelijking (2x + 3) (2x – 3) = 0. Dit zal altijd de ontbonden vorm zijn van een kwadratische vergelijking die het verschil van kwadraten is.

Onderzoek de kwadratische vergelijking om te zien of het een perfect vierkant is. Als de kwadratische vergelijking een perfect vierkant is, kan deze worden geschreven in de vorm y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, zoals de vergelijking 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, die kan worden herschreven als (2x) ^ 2 + 2(2x)(3) + (3)^2. In dit geval, y = 2x en z = 3.

Controleer of de term 2yz positief is. Als de term positief is, zijn de factoren van de perfecte kwadratische vergelijking altijd (y + z)(y + z). In de bovenstaande vergelijking is 12x bijvoorbeeld positief, daarom zijn de factoren (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Controleer of de term 2yz negatief is. Als de term negatief is, zijn de factoren altijd (y – z)(y – z). Als de bovenstaande vergelijking bijvoorbeeld de term -12x had in plaats van 12x, zouden de factoren (2x – 3) (2x – 3) = 0 zijn.

Stel de ontbonden vorm van de kwadratische vergelijking in door (vx + w)(yx + z) = 0 te schrijven. Denk aan de regels voor FOIL-vermenigvuldiging (First, Outside, Inside, Last). Aangezien de eerste term van de kwadratische vergelijking een Ax ^ 2 is, moeten beide factoren van de vergelijking een x bevatten.

Los v en y op door alle factoren van A in de kwadratische vergelijking te beschouwen. Als A = 1, dan zijn zowel v als y altijd 1. In de voorbeeldvergelijking x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, dus v en y kunnen worden opgelost in de factorvergelijking om (1x + w) (1x + z) = 0 te krijgen.

Bepaal of w en z positief of negatief zijn. De volgende regels zijn van toepassing: C = positief en B = positief; beide factoren hebben een + teken C = positief en B = negatief; beide factoren hebben een – teken C = negatief en B = positief; de factor met de grootste waarde heeft een + teken C = negatief en B = negatief; de factor met de grootste waarde heeft een - teken In de voorbeeldvergelijking uit stap 2, B = -9 en C = +8, dus beide factoren van de vergelijking hebben - tekens, en de ontbonden vergelijking kan worden geschreven als (1x – w)(1x – z) = 0.

Maak een lijst van alle factoren van C om de waarden voor w en z te vinden. In het bovenstaande voorbeeld is C = 8, dus de factoren zijn 1 en 8, 2 en 4, -1 en -8, en -2 en -4. De factoren moeten optellen tot B, wat -9 is in de voorbeeldvergelijking, dus w = -1 en z = -8 (of vice versa) en onze vergelijking wordt volledig in factoren verwerkt als (1x – 1)(1x – 8) = 0.

Reduceer de vergelijking tot de eenvoudigste vorm, met behulp van de hierboven genoemde Greatest Common Factor-methode. In de vergelijking 9x^2 + 27x – 90 = 0 is de GCF bijvoorbeeld 9, dus de vergelijking wordt vereenvoudigd tot 9(x^2 + 3x – 10).

Teken een doos en verdeel deze in een tabel met twee rijen en twee kolommen. Zet Ax^2 van de vereenvoudigde vergelijking in rij 1, kolom 1 en C van de vereenvoudigde vergelijking in rij 2, kolom 2.

Vermenigvuldig A met C en vind alle factoren van het product. In het bovenstaande voorbeeld is A = 1 en C = -10, dus het product is (1)(-10) = -10. De factoren van -10 zijn -1 en 10, -2 en 5, 1 en -10, en 2 en -5.

Bepaal welke van de factoren van het product AC optellen tot B. In het voorbeeld, B = 3. De factoren van -10 die optellen tot 3 zijn -2 en 5.

Vermenigvuldig elk van de geïdentificeerde factoren met x. In het bovenstaande voorbeeld zou dit resulteren in -2x en 5x. Zet deze twee nieuwe termen in de twee lege ruimtes op het diagram, zodat de tabel er als volgt uitziet:

x^2 | 5x

-2x | -10

Zoek de GCF voor elke rij en kolom van het vak. In het voorbeeld is de CGF voor de bovenste rij x en voor de onderste rij -2. De GCF voor de eerste kolom is x en voor de tweede kolom 5.

Schrijf de ontbonden vergelijking in de vorm (w + v) (y + z) met behulp van de factoren geïdentificeerd uit de grafiekrijen voor w en v, en de factoren geïdentificeerd uit de grafiekkolommen voor y en z. Als de vergelijking in stap 1 is vereenvoudigd, vergeet dan niet om de GCF van de vergelijking op te nemen in de gefactorde uitdrukking. In het geval van het voorbeeld is de factorvergelijking 9(x – 2)(x + 5) = 0.

Zorg ervoor dat de vergelijking in standaard kwadratische vorm is voordat u met een van de beschreven methoden begint.

Het is niet altijd gemakkelijk om een ​​perfect vierkant of verschil in vierkanten te identificeren. Als je snel kunt zien dat de kwadratische vergelijking die je probeert te factoriseren een van deze vormen heeft, dan kan dat een grote hulp zijn. Besteed echter niet veel tijd aan het proberen dit uit te zoeken, omdat de andere methoden sneller kunnen zijn.

Controleer uw werk altijd door de factoren te vermenigvuldigen met behulp van de FOIL-methode. De factoren moeten zich altijd vermenigvuldigen tot de oorspronkelijke kwadratische vergelijking.