Absolute-waardevergelijkingen kunnen in het begin een beetje intimiderend zijn, maar als je je eraan houdt, zul je ze al snel gemakkelijk oplossen. Wanneer u absolute-waardevergelijkingen probeert op te lossen, helpt het om de betekenis van absolute waarde in gedachten te houden.
Definitie van absolute waarde
Deabsolute waardevan een nummerX, geschreven |X|, is de afstand vanaf nul op een getallenlijn. Bijvoorbeeld, −3 is 3 eenheden verwijderd van nul, dus de absolute waarde van −3 is 3. We schrijven het als volgt: | −3 | = 3.
Een andere manier om erover na te denken is dat:absolute waardeis de positieve "versie" van een getal. Dus de absolute waarde van −3 is 3, terwijl de absolute waarde van 9, die al positief is, 9 is.
Algebraïsch kunnen we schrijven aformule voor absolute waardedat ziet er zo uit:
| x | = \begin{cases} x &\text{if } x≥ 0 \\ -x &\text{if } x ≤ 0 \end{cases}
Neem een voorbeeld waarX= 3. Aangezien 3 ≥ 0, is de absolute waarde van 3 3 (in absolute waardenotatie is dat: | 3 | = 3).
Wat nu als?X= −3? Het is minder dan nul, dus | −3 | = −( −3). Het tegenovergestelde, of "negatief", van −3 is 3, dus | −3 | = 3.
Absolute-waardevergelijkingen oplossen
Nu enkele absolute-waardevergelijkingen. De algemene stappen voor het oplossen van een absolute-waardevergelijking zijn:
Isoleer de absolute waarde-expressie.
Los de positieve "versie" van de vergelijking op.
Los de negatieve "versie" van de vergelijking op door de hoeveelheid aan de andere kant van het isgelijkteken te vermenigvuldigen met -1.
Bekijk het onderstaande probleem voor een concreet voorbeeld van de stappen.
Voorbeeld: Los de vergelijking op voorX:
| 3 + x | - 5 = 4
Je moet |. krijgen 3 +X| alleen aan de linkerkant van het isgelijkteken. Voeg hiervoor 5 toe aan beide zijden:
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Oplossen voorXalsof het absolute waardeteken er niet is!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Dat is eenvoudig: trek gewoon 3 van beide kanten af.
3 + x -3 = 9 -3 \\ x = 6
Dus een oplossing voor de vergelijking is dat:X = 6.
Begin opnieuw bij | 3 +X| = 9. De algebra in de vorige stap toonde aan datXkan 6 zijn Maar aangezien dit een absolute waardevergelijking is, is er nog een andere mogelijkheid om te overwegen. In de bovenstaande vergelijking is de absolute waarde van "iets" (3 +X) is gelijk aan 9. Natuurlijk, de absolute waarde van positieve 9 is gelijk aan 9, maar er is hier ook een andere optie! De absolute waarde van −9 is ook gelijk aan 9. Dus het onbekende "iets" kan ook gelijk zijn aan −9.
Met andere woorden:
3 + x = -9
De snelle manier om tot deze tweede versie te komen, is door de hoeveelheid aan de andere kant van de te vermenigvuldigen is gelijk aan de absolute waarde-uitdrukking (9, in dit geval) met -1, los vervolgens de vergelijking op uit Daar.
Zo:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × ( -1) \\ 3 + x = -9
Trek 3 van beide kanten af om te krijgen:
3 + x -3 = -9 -3 \\ x = -12
De twee oplossingen zijn dus:X= 6 ofX = −12.
En daar heb je het! Dit soort vergelijkingen vergen oefening, dus maak je geen zorgen als je in het begin moeite hebt. Blijf erbij en het wordt makkelijker!