Er zijn maar weinig dingen die de beginnende algebrastudent angst aanjagen, zoals het zien van exponenten - uitdrukkingen zoals:ja2, X3 of zelfs de gruwelijkejaX- opduiken in vergelijkingen. Om de vergelijking op te lossen, moet je die exponenten op de een of andere manier laten verdwijnen. Maar in werkelijkheid is dat proces niet zo moeilijk als je een reeks eenvoudige strategieën leert, waarvan de meeste zijn geworteld in de elementaire rekenkundige bewerkingen die je al jaren gebruikt.
Vereenvoudig en combineer like-termen
Soms, als je geluk hebt, kun je exponenttermen in een vergelijking hebben die elkaar opheffen. Beschouw bijvoorbeeld de volgende vergelijking:
y + 2x^2 - 5 = 2(x^2 + 2)
Met een scherp oog en een beetje oefening, zou je kunnen zien dat de exponenttermen elkaar daadwerkelijk opheffen, dus:
Zodra u de rechterkant van de voorbeeldvergelijking vereenvoudigt, ziet u dat u identieke exponenttermen aan beide zijden van het isgelijkteken heeft:
y + 2x^2 - 5 = 2x^2 + 4
2. aftrekken
X2 van beide kanten van de vergelijking. Omdat je aan beide kanten van de vergelijking dezelfde bewerking hebt uitgevoerd, heb je de waarde ervan niet gewijzigd. Maar je hebt de exponent effectief verwijderd, waardoor je overblijft met:y - 5 = 4
Indien gewenst, kunt u de vergelijking voor oplossenjadoor 5 toe te voegen aan beide zijden van de vergelijking, wat u geeft:
y = 9
Vaak zullen problemen niet zo eenvoudig zijn, maar het is nog steeds een kans die de moeite waard is om naar uit te kijken.
Zoek naar kansen om te beïnvloeden
Na verloop van tijd, oefening en veel wiskundelessen, verzamel je formules voor het ontbinden van bepaalde soorten veeltermen. Het lijkt veel op het verzamelen van gereedschappen die je in een gereedschapskist bewaart totdat je ze nodig hebt. De truc is om te leren identificeren welke veeltermen gemakkelijk kunnen worden ontbonden. Hier zijn enkele van de meest voorkomende formules die u zou kunnen gebruiken, met voorbeelden van hoe u ze kunt toepassen:
Als uw vergelijking twee gekwadrateerde getallen bevat met een minteken ertussen, bijvoorbeeldX2 − 42 - je kunt ze ontbinden met behulp van de formuleeen2 − b2 = (a + b)(a - b). Als u de formule op het voorbeeld toepast, wordt de polynoomX2 − 42 factoren om (X + 4)(X − 4).
De truc hier is om gekwadrateerde getallen te leren herkennen, zelfs als ze niet als exponenten zijn geschreven. Bijvoorbeeld, het voorbeeld vanX2 − 42 wordt eerder geschreven alsX2 − 16.
Als uw vergelijking twee gekubeerde getallen bevat die bij elkaar worden opgeteld, kunt u deze ontbinden met behulp van de formule
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
Denk aan het voorbeeld vanja3 + 23, die u eerder geschreven ziet alsja3 + 8. Wanneer je vervangtjaen 2 in de formule vooreenenbrespectievelijk, je hebt:
(y + 2)(y^2 - 2y + 2^2)
Het is duidelijk dat de exponent niet helemaal verdwenen is, maar soms is dit type formule een nuttige, tussenstap om er vanaf te komen. Als u bijvoorbeeld rekening houdt met de teller van een breuk, kunnen er termen ontstaan die u vervolgens kunt annuleren met termen uit de noemer.
Als uw vergelijking twee gekubeerde getallen bevat met éénafgetrokkenvan de andere kunt u ze ontbinden met behulp van een formule die erg lijkt op die in het vorige voorbeeld. In feite is de locatie van het minteken het enige verschil tussen beide, aangezien de formule voor het verschil van kubussen is:
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
Denk aan het voorbeeld vanX3 − 53, die waarschijnlijker zou worden geschreven alsX3 − 125. vervangenXvooreenen 5 voorb, Jij krijgt:
(x - 5)(x^2 + 5x + 5^2)
Zoals eerder, hoewel dit de exponent niet volledig elimineert, kan het een nuttige tussenstap zijn.
Isoleer en pas een radicaal toe
Als geen van de bovenstaande trucs werkt en je hebt slechts één term met een exponent, dan kun je de meest gebruikelijke methode gebruiken om van" de exponent: Isoleer de exponentterm aan één kant van de vergelijking en pas vervolgens het juiste radicaal toe op beide kanten van de vergelijking. Denk aan het voorbeeld van
z^3 - 25 = 2
Isoleer de exponentterm door 25 aan beide zijden van de vergelijking toe te voegen. Dit geeft je:
z^3 = 27
De index van de wortel die u toepast – dat wil zeggen, het kleine superscriptgetal vóór het wortelteken – moet hetzelfde zijn als de exponent die u probeert te verwijderen. Dus omdat de exponentterm in het voorbeeld een derde macht of derde macht is, moet u een derdemachtswortel of derde wortel toepassen om deze te verwijderen. Dit geeft je:
\sqrt[3]{z^3} = \sqrt[3]{27}
Wat op zijn beurt vereenvoudigt tot:
z = 3