Het oplossen van polynomiale functies is een belangrijke vaardigheid voor iedereen die wiskunde of natuurkunde studeert, maar het proces onder de knie krijgen, vooral als het gaat om functies van een hogere orde, kan behoorlijk uitdagend zijn. Een kubieke functie is een van de meest uitdagende soorten polynoomvergelijkingen die u mogelijk met de hand moet oplossen. Hoewel het misschien niet zo eenvoudig is als het oplossen van een kwadratische vergelijking, zijn er een aantal methoden: u kunt gebruiken om de oplossing van een derdegraadsvergelijking te vinden zonder toevlucht te nemen tot pagina's en pagina's met algebra.
Wat is een kubieke functie?
Een kubieke functie is een derdegraads veelterm. Een algemene polynoomfunctie heeft de vorm:
f (x) = ax^n +bx^{n-1} + cx^{n-2}... vx^3+wx^2+zx+k
Hier, X is de variabele, nee is gewoon een willekeurig getal (en de graad van de polynoom), k is een constante en de andere letters zijn constante coëfficiënten voor elke macht van X. Dus een kubieke functie heeft nee = 3, en is gewoon:
f (x) = ax^3 +bx^2 + cx^1+d
Waar in dit geval d is de constante. Over het algemeen, wanneer u een derdegraadsvergelijking moet oplossen, krijgt u deze in de vorm:
ax^3 +bx^2 + cx^1+d = 0
Elke oplossing voor X wordt een "wortel" van de vergelijking genoemd. Kubieke vergelijkingen hebben één reële wortel of drie, hoewel ze herhaald kunnen worden, maar er is altijd minstens één oplossing.
Het type vergelijking wordt gedefinieerd door het hoogste vermogen, dus in het bovenstaande voorbeeld zou het geen derdegraadsvergelijking zijn als een = 0, omdat de hoogste machtsterm zou zijn bx2 en het zou een kwadratische vergelijking zijn. Dit betekent dat de volgende alle derdegraadsvergelijkingen zijn:
2x^3 + 3x^2 + 6x −9 = 0 \\ x^3 −9x + 1 = 0\\ x^3 −15x^2 = 0
Oplossen met behulp van de factorstelling en synthetische divisie
De eenvoudigste manier om een derdegraadsvergelijking op te lossen, is een beetje giswerk en een algoritmisch type proces dat synthetische deling wordt genoemd. Het begin is echter in principe hetzelfde als de methode van vallen en opstaan voor oplossingen van derdegraadsvergelijkingen. Probeer erachter te komen wat een van de wortels is door te raden. Als je een vergelijking hebt waarbij de eerste coëfficiënt, een, gelijk is aan 1, dan is het iets gemakkelijker om een van de wortels te raden, omdat het altijd factoren zijn van de constante term die hierboven wordt weergegeven door d.
Dus, kijkend naar de volgende vergelijking, bijvoorbeeld:
x^3 − 5x^2 − 2x + 24 = 0
Je moet een van de waarden raden voor X, maar sinds een = 1 in dit geval weet je dat wat de waarde ook is, het een factor 24 moet zijn. De eerste dergelijke factor is 1, maar dit zou laten:
1 – 5 – 2 + 24 = 18
Wat niet nul is, en −1 zou vertrekken:
−1 – 5 + 2 + 24 = 20
Wat weer niet nul is. De volgende, X = 2 zou geven:
8 – 20 – 4 + 24 = 8
Weer een mislukking. Proberen X = −2 geeft:
−8 – 20 + 4 + 24 = 0
Dit betekent X = −2 is een wortel van de derdegraadsvergelijking. Dit toont de voor- en nadelen van de trial-and-error-methode: u kunt het antwoord krijgen zonder veel dacht, maar het is tijdrovend (vooral als je naar hogere factoren moet gaan voordat je een wortel vindt). Gelukkig, als je één wortel hebt gevonden, kun je de rest van de vergelijking gemakkelijk oplossen.
De sleutel is het opnemen van de factorstelling. Hierin staat dat als X = s is een oplossing, dan (X – zo) is een factor die uit de vergelijking kan worden getrokken. Voor deze situatie, zo = −2, en dus (X + 2) is een factor die we kunnen terugtrekken om te vertrekken:
(x + 2) (x^2 + ax + b) = 0
De termen in de tweede groep haakjes hebben de vorm van een kwadratische vergelijking, dus als je de juiste waarden vindt voor een en b, kan de vergelijking worden opgelost.
Dit kan worden bereikt met behulp van synthetische deling. Noteer eerst de coëfficiënten van de oorspronkelijke vergelijking op de bovenste rij van een tabel, met een scheidslijn en dan de bekende wortel aan de rechterkant:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline & & & & \end{array}
Laat een vrije rij over en voeg er een horizontale lijn onder toe. Neem eerst het eerste cijfer (1 in dit geval) naar de rij onder je horizontale lijn
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & & & & \\ \hline 1 & & & & \end{array }
Vermenigvuldig nu het getal dat je zojuist hebt neergezet met de bekende wortel. In dit geval is 1 × −2 = −2 en dit wordt als volgt onder het volgende nummer in de lijst geschreven:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & & & & \end {matrix}
Voeg vervolgens de getallen toe in de tweede kolom en plaats het resultaat onder de horizontale lijn:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & & & \\ \hline 1 & -7 & & & \end{array}
Herhaal nu het proces dat u zojuist hebt doorlopen met het nieuwe nummer onder de horizontale lijn: Vermenigvuldigen met de wortel, plaats het antwoord in de lege ruimte in de volgende kolom en voeg vervolgens de kolom toe om een nieuw nummer op de. te krijgen onderste rij. Dit laat:
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & & \\ \hline 1 & -7 & 12 & & \end{array}
En doorloop het proces dan nog een laatste keer.
\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{cccc: c} 1 & -5 & -2 & 24 & x=-2 \\ & -2 & 14 & -24 & \\ \hline 1 & -7 & 12 & 0 & \end{array}
Het feit dat het laatste antwoord nul is, vertelt je dat je een geldige wortel hebt, dus als dit niet nul is, heb je ergens een fout gemaakt.
Nu vertelt de onderste rij u de factoren van de drie termen in de tweede reeks haakjes, zodat u kunt schrijven:
(x^2 − 7x + 12) = 0
En dus:
(x+2)(x^2 7x + 12) = 0
Dit is de belangrijkste fase van de oplossing en u kunt vanaf dit punt op veel manieren eindigen.
Factoring van kubieke veeltermen
Nadat u een factor hebt verwijderd, kunt u een oplossing vinden met behulp van factorisatie. Vanaf de bovenstaande stap is dit in feite hetzelfde probleem als het ontbinden van een kwadratische vergelijking, wat in sommige gevallen een uitdaging kan zijn. Echter, voor de uitdrukking:
(x^2 − 7x + 12)
Als je je herinnert dat de twee getallen die je tussen de haakjes plaatst moeten optellen om de tweede coëfficiënt (7) te geven en te vermenigvuldigen om de derde (12) te geven, is het vrij eenvoudig om in dit geval te zien dat:
(x^2 − 7x + 12) = (x – 3) (x – 4)
Je kunt dit vermenigvuldigen om te controleren, als je wilt. Voel je niet ontmoedigd als je de factorisatie niet meteen kunt zien; het vergt wel een beetje oefening. Dit laat de oorspronkelijke vergelijking als:
(x + 2) (x – 3) (x – 4) = 0
Waar je meteen aan kunt zien heeft oplossingen bij X = -2, 3 en 4 (allemaal factoren van 24, de oorspronkelijke constante). In theorie is het misschien ook mogelijk om de hele factorisatie te zien vanaf de originele versie van de vergelijking, maar dit is veel uitdagender, dus het is beter om met vallen en opstaan een oplossing te vinden en de bovenstaande benadering te gebruiken voordat u probeert een factorisatie.
Als je moeite hebt om de factorisatie te zien, kun je de formule voor kwadratische vergelijkingen gebruiken:
x={-b\pm\sqrt{b^2 – 4ac}\boven{1pt}2a}
Om de resterende oplossingen te vinden.
De kubieke formule gebruiken
Hoewel het veel groter en minder eenvoudig is om mee om te gaan, is er een eenvoudige kubieke vergelijkingsoplosser in de vorm van de kubieke formule. Dit is vergelijkbaar met de formule voor kwadratische vergelijkingen, in die zin dat je gewoon je waarden van invoert een, b, c en d om tot een oplossing te komen, maar duurt gewoon veel langer.
Het zegt dat:
x = (q + [q^2 + (r−p^2)^3]^{1/2})^{1/3} + (q − [q^2 + (r−p^2)^ 3]^{1/2})^{1/3} + p
waar
p = {−b \boven{1pt}3a}
q = p^3 + {bc−3ad \boven{1pt}6a^2}
en
r = {c \boven{1pt}3a}
Het gebruik van deze formule is tijdrovend, maar als u de methode van vallen en opstaan voor oplossingen van derdegraadsvergelijkingen en vervolgens de kwadratische formule niet wilt gebruiken, werkt dit wel als u alles doorneemt.