Een kwadratische vergelijking is een vergelijking die een enkele variabele bevat en waarin de variabele wordt gekwadrateerd. De standaardvorm voor dit type vergelijking, die altijd een parabool produceert bij het tekenen, isbijl2 + bx + c= 0, waareen, benczijn constanten. Oplossingen vinden is niet zo eenvoudig als voor een lineaire vergelijking, en een deel van de reden is dat er vanwege de kwadratische term altijd twee oplossingen zijn. U kunt een van de drie methoden gebruiken om een kwadratische vergelijking op te lossen. U kunt de termen ontbinden, wat het beste werkt met eenvoudigere vergelijkingen, of u kunt het kwadraat voltooien. De derde methode is om de kwadratische formule te gebruiken, die een algemene oplossing is voor elke kwadratische vergelijking.
De kwadratische formule
Voor een algemene kwadratische vergelijking van de vormbijl2 + bx + c= 0, de oplossingen worden gegeven door deze formule:
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
Merk op dat het ± teken tussen de haakjes betekent dat er altijd twee oplossingen zijn. Een van de oplossingen gebruikt
\frac{−b +\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
en de andere oplossing gebruikt
\frac{−b -\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
De kwadratische formule gebruiken
Voordat u de kwadratische formule kunt gebruiken, moet u ervoor zorgen dat de vergelijking in standaardvorm is. Het is misschien niet zo. SommigeX2 termen kunnen aan beide kanten van de vergelijking staan, dus je zult die aan de rechterkant moeten verzamelen. Doe hetzelfde met alle x-termen en constanten.
Voorbeeld: Vind de oplossingen van de vergelijking
3x^2 - 12 = 2x (x -1)
Vouw de haakjes uit:
3x^2 - 12 = 2x^2 - 2x
2. aftrekkenX2 en van beide kanten. Voeg 2. toeXnaar beide kanten
3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 2x^2 -2x^2 -2x + 2x \\ 3x^2 - 2x^2 + 2x - 12 = 0 \\ x^2 - 2x -12 = 0
Deze vergelijking is in standaardvormbijl2 + bx + c= 0 waareen = 1, b= −2 enc = 12
De kwadratische formule is
x = \frac{−b ±\sqrt{b^2 − 4ac} }{2a}
Sindseen = 1, b= −2 enc= −12, dit wordt
x = \frac{−(-2) ±\sqrt{(-2)^2 − 4×1×(-12)} }{2×1}
x = \frac{2 ±\sqrt{(4+ 48} }{2} \\ \,\\ x = \frac{2 ±\sqrt{52} }{2} \\ \,\\ x = \ breuk{2 ±7,21 }{2} \\ \,\\ x = \frac{9.21}{2} \text{ en } x = \frac{−5.21}{2} \\ \,\\ x = 4.605 \text{ en } x = −2.605
Twee andere manieren om kwadratische vergelijkingen op te lossen
U kunt kwadratische vergelijkingen oplossen door factoring. Om dit te doen, raad je min of meer een paar getallen die, bij elkaar opgeteld, de constante gevenben, wanneer met elkaar vermenigvuldigd, geef de constantec. Deze methode kan moeilijk zijn als het om breuken gaat. en zou niet goed werken voor het bovenstaande voorbeeld.
De andere methode is om het vierkant te voltooien. Als je een vergelijking in de standaardvorm hebt,bijl2 + bx + c= 0, zetcaan de rechterkant en voeg de term (b/2)2 naar beide kanten. Hiermee kunt u de linkerkant uitdrukken als (X + d)2, waardis een constante. Je kunt dan de vierkantswortel van beide zijden nemen en oplossen voorX. Nogmaals, de vergelijking in het bovenstaande voorbeeld is gemakkelijker op te lossen met behulp van de kwadratische formule.