In de wiskunde is een functie een proces dat je toepast op een onafhankelijke variabeleXom de afhankelijke variabele te krijgenja. Als je het ziet als "vanuit" jeXom bij je te komenja, een inverse functie gaat in de tegenovergestelde richting, van het resultaat terug naar de oorspronkelijke waarde. In zekere zin is een inverse functie het tegenovergestelde van het origineel en wordt het proces "ongedaan gemaakt".
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Een inverse van een wiskundige functie keert de rollen van. omjaenXin de oorspronkelijke functie.
Functies en inverses
Wiskundigen definiëren een functie als een proces of regel die de geordende paren van een verzameling genereert. Je kunt het eerste lid van het paar zien als deXvan de functie, en het tweede lid als deja. In een ware functie heeft de eerste waarde slechts één bijbehorende oplossingswaarde. dus elkXwaarde heeft slechts één corresponderendejawaarde. Dus, de vergelijking voor de horizontale lijn,ja= 1 is een functie, maar de verticale lijn,X= 1 niet.
Teken een grafiek
De grafiek van een functie en zijn inverse zijn weerspiegelingen van elkaar, waarbij een lijn staat voorja = Xoptreden als de "spiegel". Om een voorbeeld te geven, de grafiek van de natuurlijke logaritmefunctie, ln(X), begint bij min oneindig bij dejaas en net rechts van nul op deXas. Vanaf daar steekt het deXas op het punt (1,0) en heeft een licht stijgende curve over deXas. Zijn inverse, de natuurlijke exponentfunctie exp(X), heeft deX-as als asymptoot, beginnend bij negatief oneindig op deXas, net erboven. Het kruist dejaas op (0,1) en buigt sterk naar boven. Teken de twee functies in een grafiek en teken vervolgens de lijnja = X, en je zult zien dat exp(X) en ln(X) elkaar spiegelen.
Sinus en cosinus
Hoewel de sinus- en cosinusfuncties verwant zijn, is de ene niet het omgekeerde van de andere. De sinus- en cosinusfuncties produceren vergelijkbare grafische resultaten, hoewel cosinus de sinus 90 graden "leidt". Ook is de cosinus de afgeleide van de sinus. De inverse van de sinusfunctie is echter de arcsinus en de inverse van de cosinus is de arccosinus.
Een inverse functie zoeken
Het is relatief eenvoudig om de inverse van veel functies te vinden: Verwissel de "ja” en “X” in de vergelijking, en los vervolgens op voorja. Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking
y = 2x + 4
Je ruilen voorXgeeft
x = 2j + 4
Trek 4 van beide kanten af om te krijgen
x - 4 = 2j
en deel vervolgens beide zijden door 2 om te krijgen
\frac{x}{2} - 2 = y
wat de inverse functie is.
Omgekeerde niet-functies
Niet alle inverse functies zijn ook functies. Bedenk dat de definitie van functies zegt dat elkeXheeft er maar éénjawaarde. Hoewel arcsinus de inverse is van de sinusfunctie, is arcsinus technisch gezien geen functie, zoals:Xwaarden hebben oneindig veel corresponderendejawaarden. Het is ook waar met
y = x^2 \text{ en } y = \sqrt{x}
de eerste is een functie, en de tweede is de inverse, maar de vierkantswortel geeft twee corresponderendejawaarden, positief en negatief, waardoor het geen echte functie is.