Elke algebrastudent op hogere niveaus moet leren kwadratische vergelijkingen op te lossen. Dit is een type polynoomvergelijking met een macht van 2 maar geen hogere, en ze hebben de algemene vorm:bijl2 + bx + c= 0. U kunt deze oplossen door de formule van de kwadratische vergelijking te gebruiken, door factorisatie of door het kwadraat in te vullen.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Zoek eerst naar een factorisatie om de vergelijking op te lossen. Als er niet één is, maar debcoëfficiënt deelbaar is door 2, vul het kwadraat in. Als geen van beide benaderingen gemakkelijk is, gebruik dan de formule voor kwadratische vergelijkingen.
Factorisatie gebruiken om de vergelijking op te lossen
Factorisatie maakt gebruik van het feit dat de rechterkant van de standaard kwadratische vergelijking gelijk is aan nul. Dit betekent dat als je de vergelijking kunt splitsen in twee termen tussen haakjes vermenigvuldigd met elkaar, je de oplossingen kunt uitwerken door na te denken over wat elk haakje gelijk zou maken aan nul. Om een concreet voorbeeld te geven:
x^2 + 6x + 9 = 0
Vergelijk dit met het standaardformulier:
ax^2 + bx + c = 0
In het voorbeeld,een = 1, b= 6 enc= 9. De uitdaging van factoriseren is het vinden van twee getallen die bij elkaar optellen om het getal in de te gevenbspot en vermenigvuldig samen om het nummer op de plaats te krijgen voorc.
Dus, de getallen weergeven doordene, je zoekt naar getallen die voldoen aan:
d + e = b
Of in dit geval, metb = 6:
d + e = 6
En
d × e = c
Of in dit geval, metc = 9:
d × e = 9
Focus op het vinden van getallen die factoren zijn vanc, en tel ze dan bij elkaar op om te zien of ze gelijk zijnb. Als je je cijfers hebt, zet ze dan in het volgende formaat:
(x + d) (x + e)
In het bovenstaande voorbeeld zijn beidedenezijn 3:
x^2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Als je de haakjes vermenigvuldigt, krijg je weer de oorspronkelijke uitdrukking, en dit is een goede gewoonte om je factorisatie te controleren. U kunt dit proces doorlopen (door de eerste, binnenste, buitenste en dan laatste delen van de haakjes om de beurt te vermenigvuldigen - zie bronnen voor meer details) om het in omgekeerde volgorde te zien:
\begin{uitgelijnd} (x + 3) (x + 3) &= (x × x) + (3 × x ) + (x × 3) + (3 × 3) \\ &= x^2 + 3x + 3x + 9 \\ &= x^2 + 6x + 9 \\ \end{uitgelijnd}
Factorisatie verloopt in feite omgekeerd door dit proces, maar het kan een uitdaging zijn om de juiste manier om de kwadratische vergelijking te ontbinden, en deze methode is niet ideaal voor elke kwadratische vergelijking hiervoor reden. Vaak moet je naar een factorisatie raden en deze dan controleren.
Het probleem is dat een van de uitdrukkingen tussen haakjes nu gelijk is aan nul door uw waardekeuze voorX. Als een van beide haakjes gelijk is aan nul, is de hele vergelijking gelijk aan nul en heb je een oplossing gevonden. Kijk naar de laatste fase [(X + 3) (X+ 3) = 0] en je zult zien dat de enige keer dat de haakjes uitkomen op nul is alsX= −3. In de meeste gevallen hebben kwadratische vergelijkingen echter twee oplossingen.
Factorisatie is nog uitdagender als:eenis niet gelijk aan één, maar focussen op eenvoudige gevallen is in het begin beter.
Het vierkant voltooien om de vergelijking op te lossen
Door het vierkant te voltooien, kunt u kwadratische vergelijkingen oplossen die niet gemakkelijk kunnen worden ontbonden. Deze methode kan voor elke kwadratische vergelijking werken, maar sommige vergelijkingen passen er beter bij dan andere. De aanpak houdt in dat je van de uitdrukking een perfect vierkant maakt en dat oplost. Een generiek perfect vierkant breidt zich als volgt uit:
(x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2
Om een kwadratische vergelijking op te lossen door het vierkant in te vullen, zet u de uitdrukking in de vorm aan de rechterkant van het bovenstaande. Deel eerst het getal in debpositie met 2 en vervolgens het resultaat kwadrateren. Dus voor de vergelijking:
x^2 + 8x = 0
de coëfficiëntb= 8, dusb÷ 2 = 4 en (b ÷ 2)2 = 16.
Voeg dit aan beide kanten toe om te krijgen:
x^2 + 8x + 16 = 16
Merk op dat deze vorm overeenkomt met de perfecte vierkante vorm, metd= 4, dus 2d= 8 end2 = 16. Dit betekent dat:
x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2
Voeg dit in de vorige vergelijking in om te krijgen:
(x + 4)^2 = 16
Los nu de vergelijking op voorX. Neem de vierkantswortel van beide zijden om te krijgen:
x + 4 = \sqrt{16}
Trek 4 van beide kanten af om te krijgen:
x = \sqrt{16} - 4
De wortel kan positief of negatief zijn, en het nemen van de negatieve wortel geeft:
x = -4 - 4 = -8
Vind de andere oplossing met de positieve wortel:
x = 4 - 4 = 0
Daarom is de enige niet-nuloplossing −8. Controleer dit met de originele uitdrukking om te bevestigen.
De kwadratische formule gebruiken om de vergelijking op te lossen
De formule voor kwadratische vergelijkingen ziet er ingewikkelder uit dan de andere methoden, maar het is de meest betrouwbare methode en u kunt deze op elke kwadratische vergelijking gebruiken. De vergelijking gebruikt de symbolen uit de standaard kwadratische vergelijking:
ax^2 + bx + c = 0
En stelt dat:
x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Voeg de juiste getallen op hun plaats in en doorloop de formule om op te lossen, denk eraan om zowel de wortelterm af te trekken als op te tellen en noteer beide antwoorden. Voor het volgende voorbeeld:
x^2 + 6x + 5 = 0
Jij hebteen = 1, b= 6 enc= 5. Dus de formule geeft:
\begin{uitgelijnd} x &= \frac{-6 ± \sqrt{6^2 - 4×1×5}}{2×1} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{36 - 20} }{2} \\ &= \frac{-6 ± \sqrt{16}}{2} \\ &= \frac{-6 ± 4}{2} \end{aligned}
Het nemen van het positieve teken geeft:
\begin{uitgelijnd} x &= \frac{-6 + 4}{2} \\ &= \frac{-2}{2} \\ &= -1 \end{uitgelijnd}
En het nemen van het minteken geeft:
\begin{uitgelijnd} x &= \frac{-6 - 4}{2} \\ &= \frac{-10}{2} \\ &= -5 \end{uitgelijnd}
Wat zijn de twee oplossingen voor de vergelijking.
Hoe de beste methode te bepalen om kwadratische vergelijkingen op te lossen?
Zoek naar een factorisatie voordat u iets anders probeert. Als je er een kunt vinden, is dit de snelste en gemakkelijkste manier om een kwadratische vergelijking op te lossen. Onthoud dat u op zoek bent naar twee getallen die optellen tot debcoëfficiënt en vermenigvuldig om de te gevenccoëfficiënt. Voor deze vergelijking:
x^2 + 5x + 6 = 0
Je kunt zien dat 2 + 3 = 5 en 2 × 3 = 6, dus:
x^2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
EnX= −2 ofX = −3.
Als u geen factorisatie kunt zien, controleer dan of debcoëfficiënt is deelbaar door 2 zonder toevlucht te nemen tot breuken. Als dat zo is, is het invullen van het vierkant waarschijnlijk de gemakkelijkste manier om de vergelijking op te lossen.
Als geen van beide benaderingen geschikt lijkt, gebruik dan de formule. Dit lijkt de moeilijkste aanpak, maar als je in een examen zit of op een andere manier tijd nodig hebt, kan dit het proces een stuk minder stressvol en veel sneller maken.