Het verschil tussen klassieke mechanica en kwantummechanica is enorm. Terwijl in de klassieke mechanica deeltjes en objecten duidelijk gedefinieerde posities hebben, is in de kwantummechanica (voorafgaand aan een meting) a van een deeltje kan alleen worden gezegd dat het een reeks mogelijke posities heeft, die worden beschreven in termen van waarschijnlijkheden door de golf functie.
De Schrödinger-vergelijking definieert de golffunctie van kwantummechanische systemen, en het leren gebruiken en interpreteren ervan is een belangrijk onderdeel van elke cursus in kwantummechanica. Een van de eenvoudigste voorbeelden van een oplossing voor deze vergelijking is voor een deeltje in een doos.
De golffunctie
In de kwantummechanica wordt een deeltje weergegeven door aGolf functie. Dit wordt meestal aangeduid met de Griekse letter psi (Ψ) en het hangt af van zowel positie als tijd, en het bevat alles wat bekend kan worden over het deeltje.
De modulus van deze functie in het kwadraat vertelt je de kans dat het deeltje op positie wordt gevonden
Xop tijdt, op voorwaarde dat de functie "genormaliseerd" is. Dit betekent gewoon aangepast zodat het zeker te vinden is opsommigepositieXop dat momenttwanneer de resultaten op elke locatie worden opgeteld, d.w.z. de normalisatieconditie zegt dat:\int_{-\infty}^\infty \vertΨ\vert^2 = 1
U kunt de golffunctie gebruiken om de verwachtingswaarde voor de positie van een deeltje op tijd te berekenent, waarbij de verwachtingswaarde alleen de gemiddelde waarde betekent waarvoor u zou krijgenXals u de meting een groot aantal keren heeft herhaald. Dit betekent natuurlijk niet dat dit het resultaat zal zijn dat u zou krijgen voor een bepaalde meting - dat wil zeggen:effectiefwillekeurig, hoewel sommige locaties doorgaans aanzienlijk waarschijnlijker zijn dan andere.
Er zijn veel andere grootheden waarvoor u verwachtingswaarden kunt berekenen, zoals momentum- en energiewaarden, evenals vele andere 'waarneembare waarden'.
Schrödinger-vergelijking
De Schrödingervergelijking is een differentiaalvergelijking die wordt gebruikt om de waarde voor de golffunctie en de eigentoestanden voor de energie van het deeltje te vinden. De vergelijking kan worden afgeleid uit het behoud van energie en de uitdrukkingen voor de kinetische en potentiële energie van een deeltje. De eenvoudigste manier om het te schrijven is:
H(Ψ) =iℏ\frac{\partialΨ}{\partial t}
Maar hierHvertegenwoordigt deHamiltoniaanse operator, wat op zich al een vrij lange uitdrukking is:
H = \frac{−ℏ}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)
Hier,mis de massa, ℏ is de constante van Planck gedeeld door 2π, enV (X) is een algemene functie voor de potentiële energie van het systeem. De Hamiltoniaan heeft twee verschillende delen: de eerste term is de kinetische energie van het systeem en de tweede term is de potentiële energie.
Elke waarneembare waarde in de kwantummechanica wordt geassocieerd met een operator, en in de tijdonafhankelijke versie van de Schrodinger-vergelijking is de Hamiltoniaan de energieoperator. In de hierboven getoonde tijdsafhankelijke versie genereert de Hamiltoniaan echter ook de tijdsevolutie van de golffunctie.
Door alle informatie in de vergelijking te combineren, kun je de evolutie van het deeltje in ruimte en tijd beschrijven en ook de mogelijke energiewaarden ervoor voorspellen.
De tijdonafhankelijke Schrödinger-vergelijking
Het tijdafhankelijke deel van de vergelijking kan worden verwijderd - om een situatie te beschrijven die niet opmerkelijk evolueert met de tijd - door de golffunctie te scheiden in ruimte- en tijddelen:Ψ(X, t) = Ψ(X) f(t). De tijdafhankelijke delen kunnen dan uit de vergelijking worden geschrapt, waardoor de tijdonafhankelijke versie van de Schrodinger-vergelijking overblijft:
H Ψ(x) = E (Ψ (x))
Eis de energie van het systeem. Dit heeft de exacte vorm van een eigenwaardevergelijking, metΨ(X) zijnde de eigenfunctie, enEzijnde de eigenwaarde, daarom wordt de tijdonafhankelijke vergelijking vaak de eigenwaardevergelijking voor de energie van een kwantummechanisch systeem genoemd. De tijdfunctie wordt eenvoudig gegeven door:
f (t) = e^{-iEt/ℏ}
De tijdonafhankelijke vergelijking is handig omdat het de berekeningen vereenvoudigt voor veel situaties waarin tijdsevolutie niet bijzonder cruciaal is. Dit is de meest bruikbare vorm voor "particle in a box"-problemen en zelfs voor het bepalen van de energieniveaus voor elektronen rond een atoom.
Deeltje in een doos (oneindige vierkante put)
Een van de eenvoudigste oplossingen voor de tijdonafhankelijke Schrödingervergelijking is voor een deeltje in een oneindig diepe vierkante put (d.w.z. een oneindige potentiële put), of een eendimensionale doos met basis lengteL. Natuurlijk zijn dit theoretische idealiseringen, maar het geeft een basisidee van hoe je de Schrödinger-vergelijking oplost zonder rekening te houden met veel van de complicaties die in de natuur voorkomen.
Met de potentiële energie ingesteld op 0 buiten de put waar de kansdichtheid ook 0 is, wordt de Schrödinger-vergelijking voor deze situatie:
\frac{−ℏ^2}{2m} \frac{d^2Ψ(x)}{dx^2} = E Ψ(x)
En de algemene oplossing voor een vergelijking van deze vorm is:
Ψ(x) = A \sin (kx) + B \cos (kx)
Het kijken naar de randvoorwaarden kan dit echter helpen beperken. VoorX= 0 enX= L, d.w.z. de zijkanten van de doos of de wanden van de put, de golffunctie moet naar nul gaan. De cosinusfunctie heeft een waarde van 1 wanneer het argument 0 is, dus om aan de randvoorwaarden te voldoen, is de constanteBmoet gelijk zijn aan nul. Dit laat:
Ψ(x) = A \sin (kx)
U kunt de randvoorwaarden ook gebruiken om een waarde in te stellen voork. Omdat de sin-functie bij waarden naar nul gaatneeπ, waar kwantumgetalnee= 0, 1, 2, 3… enzovoort, dit betekent wanneerX = L, zal de vergelijking alleen werken alsk = neeπ / L. Ten slotte kunt u het feit gebruiken dat de golffunctie moet worden genormaliseerd om de waarde van. te vindenEEN(integreer in alle mogelijke)Xwaarden, d.w.z. van 0 totL, en stel vervolgens het resultaat in op 1 en herschik het), om tot de uiteindelijke uitdrukking te komen:
Ψ(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \bigg(\frac{nπ}{L}x\bigg)
Met behulp van de oorspronkelijke vergelijking en dit resultaat kun je vervolgens oplossen voorE, wat oplevert:
E = \frac{n^2ℎ^2}{8mL^2}
Merk op dat het feit datneeis in deze uitdrukking betekent dat de energieniveaus zijngekwantiseerd, zodat ze niet kunnen nemeniederwaarde, maar slechts een discrete reeks specifieke energieniveauwaarden, afhankelijk van de massa van het deeltje en de lengte van de doos.
Deeltje in een doos (eindige vierkante put)
Hetzelfde probleem wordt iets gecompliceerder als de potentiaalput een eindige wandhoogte heeft. Als de potentiëleV (X) neemt de waarde aanV0 buiten de potentiaalput en 0 daarbinnen, kan de golffunctie worden bepaald in de drie belangrijkste gebieden die door het probleem worden gedekt. Dit is echter een meer betrokken proces, dus hier kunt u alleen de resultaten zien in plaats van het hele proces te doorlopen.
Als de put op isX= 0 totX = Lnogmaals, voor de regio waarX< 0 de oplossing is:
Ψ(x) = Be^{kx}
Voor de regioX > L, het is:
Ψ(x) = Ae^{-kx}
Waar
k = \sqrt{\frac{2me}{ℏ^2}}
Voor het gebied binnen de put, waar 0 <X < L, de algemene oplossing is:
Ψ(x) = C \sin (wx) + D\cos (wx)
Waar
w = \sqrt{\frac{-2m (E+V_0)}{ℏ^2}}
U kunt dan de randvoorwaarden gebruiken om de waarden van de constanten te bepalenEEN, B, CenD, waarbij wordt opgemerkt dat de golffunctie en de eerste afgeleide ervan niet alleen gedefinieerde waarden aan de wanden van de put moeten hebben, maar ook overal continu moeten zijn en dat de golffunctie overal eindig moet zijn.
In andere gevallen, zoals ondiepe dozen, smalle dozen en vele andere specifieke situaties, zijn er benaderingen en verschillende oplossingen die u kunt vinden.