De letter E kan in wiskunde twee verschillende betekenissen hebben, afhankelijk van of het een hoofdletter E of een kleine e is. Meestal zie je de hoofdletter E op een rekenmachine, waar het betekent om het getal dat erna komt te verhogen tot een macht van 10. Bijvoorbeeld, 1E6 zou staan voor 1 × 106, of 1 miljoen. Normaal gesproken is het gebruik van E gereserveerd voor getallen die te lang zouden zijn om op het rekenmachinescherm te worden weergegeven als ze met de hand zouden worden uitgeschreven.
Wiskundigen gebruiken de kleine letter e voor een veel interessanter doel - om het getal van Euler aan te duiden. Dit getal is, net als π, een irrationeel getal, omdat het een eenmalig decimaalteken heeft dat zich uitstrekt tot oneindig. Net als een irrationeel persoon lijkt een irrationeel getal geen zin te hebben, maar het getal dat e aangeeft, hoeft niet logisch te zijn om bruikbaar te zijn. Het is zelfs een van de nuttigste getallen in de wiskunde.
E in wetenschappelijke notatie en de betekenis van 1E6
U hebt geen rekenmachine nodig om E te gebruiken om een getal in wetenschappelijke notatie uit te drukken. Je kunt E gewoon laten staan voor de basiswortel van een exponent, maar alleen als de basis 10 is. Je zou E niet gebruiken om voor grondtal 8, 4 of een ander grondtal te staan, vooral niet als het grondtal het getal van Euler is, e.
Als je E op deze manier gebruikt, schrijf je het nummerXEja, waarXis de eerste reeks gehele getallen in het getal andjais de exponent. U zou bijvoorbeeld het getal 1 miljoen schrijven als 1E6. In de reguliere wetenschappelijke notatie is dit 1 × 106, of 1 gevolgd door 6 nullen. Evenzo zou 5 miljoen 5E6 zijn, en 42.732 zou 4,27E4 zijn. Als je een getal in wetenschappelijke notatie schrijft, of je nu E gebruikt of niet, rond je meestal af op twee decimalen.
Waar komt het getal van Euler, e, vandaan?
Het getal vertegenwoordigd door e werd 50 jaar eerder ontdekt door wiskundige Leonard Euler als een oplossing voor een probleem dat werd gesteld door een andere wiskundige, Jacob Bernoulli. Bernoulli's probleem was een financieel probleem.
Stel dat u $ 1.000 in een bank stopt die 100% jaarlijkse samengestelde rente betaalt en het daar een jaar laat staan. Je hebt $ 2.000. Stel nu dat de rente de helft is, maar dat de bank deze twee keer per jaar betaalt. Aan het einde van een jaar zou je $ 2.250 hebben. Stel nu dat de bank slechts 8,33% betaalde, wat 1/12 van 100% is, maar 12 keer per jaar betaalde. Aan het eind van het jaar zou je $2.613 hebben. De algemene vergelijking voor deze progressie is:
\bigg (1 +\frac{r}{n}\bigg)^n
waarris 1 en n is de betalingstermijn.
Het blijkt dat, naarmate n oneindig nadert, het resultaat steeds dichter bij e komt, wat 2,7182818284 is tot 10 decimalen. Zo ontdekte Euler het. Het maximale rendement dat u zou kunnen behalen op een investering van $ 1.000 in één jaar zou $ 2.718 zijn.
Het getal van Euler in de natuur
Exponenten met e als basis staan bekend als natuurlijke exponenten, en dit is de reden. Als u een grafiek plot van
y = e^x
je krijgt een curve die exponentieel toeneemt, net zoals je zou doen als je de curve uitzet met grondtal 10 of een ander getal. Echter, de curveja= eXheeft twee bijzondere eigenschappen. Voor elke waarde vanX, de waarde vanjais gelijk aan de waarde van de helling van de grafiek op dat punt, en het is ook gelijk aan het gebied onder de curve tot aan dat punt. Dit maakt e een bijzonder belangrijk getal in calculus en in alle wetenschapsgebieden die calculus gebruiken.
De logaritmische spiraal, die wordt weergegeven door de vergelijking
r = ae^{bθ}
wordt overal in de natuur gevonden, in schelpen, fossielen en bloemen. Bovendien duikt e op in tal van wetenschappelijke contexten, waaronder de studies van elektrische circuits, de wetten van verwarming en koeling, en veerdemping. Ook al werd het 350 jaar geleden ontdekt, wetenschappers blijven nieuwe voorbeelden van Euler's getal in de natuur vinden.