Cross-product (vector): definitie, formule, eigenschappen (met diagrammen en voorbeelden)

Het product van twee scalaire grootheden is een scalair, en het product van een scalaire met een vector is een vector, maar hoe zit het met het product van twee vectoren? Is het een scalaire of een andere vector? Het antwoord is: het kan allebei!

Er zijn twee manieren om een ​​vectorproduct te nemen. De ene is door hun puntproduct te nemen, wat een scalair oplevert, en de andere is door hun kruisproduct te nemen, wat een andere vector oplevert. Welk product wordt gebruikt, hangt af van het specifieke scenario en de hoeveelheid die u probeert te vinden.

Het uitwendige product van twee vectoren levert een derde vector op die wijst in de richting loodrecht op de vlak dat wordt overspannen door de twee vectoren, en waarvan de grootte afhangt van de relatieve loodrechtheid van de twee vectoren.

Definitie van het kruisproduct van vectoren

We definiëren eerst het uitwendige product van de eenheidsvectorenik​, ​jenk(vectoren van grootte 1 die wijzen in de pointx-, y-enz-componentrichtingen van het standaard Cartesiaanse coördinatensysteem) als volgt:

instagram story viewer

\bold{i\times j} = \bold{k}\\ \bold{j\times k} = \bold{i}\\ \bold{k\times i} = \bold{j}\\ \bold {i\times i} = \bold{j\times j} = \bold{k\times k} = 0

Merk op dat deze relaties anti-commutatief zijn, dat wil zeggen, als we de volgorde veranderen van de vectoren waarvan we het product nemen, wordt het teken van het product omgedraaid:

\bold{j\times i} = -\bold{k} \\ \bold{k\times j} = -\bold{i} \\ \bold{i\times k} = -\bold{j}

We kunnen de bovenstaande definities gebruiken om de formule af te leiden voor het uitwendige product van twee driedimensionale vectoren.Schrijf eerst vectoreneenenbals volgt:

\bold{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k} \\ \bold{b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\bold{k}

Als we de twee vectoren vermenigvuldigen, krijgen we:

\bold{a\times b} = (a_x\bold{i} + a_y\bold{j} + a_z\bold{k}) \times (b_x\bold{i} + b_y\bold{j} + b_z\ vet{k}) \\ = a_xb_x\bold{i\times i} + a_xb_y\bold{i\times j} + a_xb_z\bold{i\times k} \\ + a_yb_x\bold{j\times i} + a_yb_y\bold{j\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} \\ + a_zb_x\bold{k\ keer i} + a_zb_y\bold{k\times j} + a_zb_z\bold{k\times k}

Dan, met behulp van de eenheidsvectorrelaties hierboven, vereenvoudigt dit tot:

\bold{a\times b} = a_xb_y\bold{i\times j} - a_xb_z\bold{k\times i} - a_yb_x\bold{i\times j} + a_yb_z\bold{j\times k} + a_zb_x \bold{k\times i} - a_zb_y\bold{j\times k}\\ = (a_xb_y - a_yb_x)\bold{i\times j} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{k\times i} + (a_yb_z - a_zb_y)\bold{j\times k}\\ = (a_yb_z - a_zb_y)\bold{ i} + (a_zb_x - a_xb_z)\bold{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\vet{k}

(​Merk op dat de termen waarvan het kruisproduct 0 was, de termen zijn die het puntproduct vormen (ook wel het scalaire product genoemd)!Dit is geen toeval.)

Met andere woorden:

\bold{a\times b} = \bold{c} = (c_x, c_y, c_z) \text{ where} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x

De grootte van het uitwendig product kan worden gevonden met behulp van de stelling van Pythagoras.

De kruisproductformule kan ook worden uitgedrukt als de determinant van de volgende matrix:

\bold{a\times b} = \Bigg|\begin{matrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z\end {matrix}\Big| \\ = \Big|\begin{matrix}a_y & a_z \\b_y & b_z\end{matrix}\Big|\bold{i} -\Big|\begin{matrix}a_x & a_z\\b_x & b_z\end{matrix}\Big|\bold{j} + \Big|\begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \end{matrix}\Big|\bold{k}

\text{Waar de determinant } \Big|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}\Big| = advertentie - bc

Een andere, vaak erg handige, formulering van het uitwendig product is (zie het einde van dit artikel voor de afleiding):

\vet{a × b} = |\vet{a}| |\vet{b}| \sin (θ) \vet{n}

Waar:

  • |​een| is de grootte (lengte) van vectoreen
  • |​b| is de grootte (lengte) van vectorb
  • θ is de hoek tussen eenen b
  • neeis de eenheidsvector loodrecht op het vlak opgespannen door eenenb

Loodrechte vectoren en de rechterhandregel

In de beschrijving van het uitwendige product staat dat de richting van het uitwendige product loodrecht staat op het vlak dat wordt overspannen door vectoreenen vectorb. Maar dit laat twee mogelijkheden over: het zou kunnen wijzenuithet vliegtuig ofinhet vlak dat door die vectoren wordt overspannen. De realiteit is dat we beide kunnen kiezen, zolang we maar consistent zijn. De favoriete richting die zowel wiskundigen als wetenschappers kiezen, wordt echter bepaald door iets dat de. wordt genoemdrechterhand regel​.

Om de richting van een vector-uitwendig product te bepalen met behulp van de rechterhandregel, wijs met de wijsvinger van uw rechterhand in de richting van de vectoreenen je middelvinger in de richting van vectorb. Je duim wijst dan in de richting van de uitwendige productvector.

Soms zijn deze richtingen moeilijk weer te geven op een plat stuk papier, dus vaak worden de volgende conventies gemaakt:

Om een ​​vector aan te geven die in de pagina gaat, tekenen we een cirkel met een X erin (zie dit als de staartveren aan het uiteinde van de pijl als je er van achteren naar kijkt). Om een ​​vector aan te duiden die in de tegenovergestelde richting uit de pagina gaat, tekenen we een cirkel met een stip erin (zie dit als de punt van de pijl die uit de pagina wijst).

vectoren

•••nee

Eigenschappen van het kruisproduct

De volgende zijn verschillende eigenschappen van het vector-uitwendig product:

\#\tekst{1. Als } \bold{a} \text{ en } \bold{b} \text{ parallel zijn, dan is } \bold{a\times b} = 0

\#\tekst{2. }\bold{a\times b} = -\bold{b\times a}

\#\tekst{3. }\vet{a\times (b + c)} = \bold{a\times b} + \bold{a\times c}

\#\tekst{4. }(c\bold{a)\times b} = c(\bold{a\times b})

\#\tekst{5. }\bold{a\cdot (b\times c}) = \bold{(a\times b)\cdot c}

\text{Waar }\bold{a\cdot (b\times c}) =\Bigg|\begin{matrix} a_x & a_y & a_z \\b_x & b_y & b_z\\c_x & c_y & c_z\end{matrix }\Big|

Geometrische interpretatie van het kruisproduct

Wanneer het vector-uitwendig product wordt geformuleerd in termen van sin (θ), kan de grootte ervan worden geïnterpreteerd als het gebied van het parallellogram dat wordt overspannen door de twee vectoren. Dit komt omdat voora × b​, |​b|sin (θ) = de hoogte van het parallellogram, zoals weergegeven, en |een| is de basis.

•••Dana Chen | Wetenschap

De grootte van het vector drievoudige producteen (b × c) kan op zijn beurt worden geïnterpreteerd als het volume van het parallellepipedum dat wordt overspannen door de vectoreneen​, ​benc. Dit is zo omdat(b × c) geeft een vector waarvan de grootte het gebied is dat wordt overspannen door vectorben vectorc, en waarvan de richting loodrecht op dat gebied staat. Het puntproduct van vector nemeneenmet dit resultaat wordt in wezen het basisoppervlak vermenigvuldigd met de hoogte.

Voorbeelden

Voorbeeld 1:De kracht op een deeltje van ladingqbewegen met snelheidvin magnetisch veldBis gegeven door:

\bold{F} = q\bold{v\times B}

Stel dat een elektron door een magnetisch veld van 0,005 T gaat met een snelheid van 2×107 Mevrouw. Als het loodrecht door het veld gaat, dan is de kracht die het zal voelen:

\bold{F} = q\bold{v\times B} = qvB\sin(\theta)\bold{n} = (-1.602\times 10^{19})(2\times 10^7)(0.005 )\sin (90)\bold{n} =-1.602\times 10^{-14}\text{ N}\bold{n}

Als het elektron echter evenwijdig aan het veld beweegt, dan is θ = 0 en sin (0) = 0, waardoor de kracht 0 wordt.

Merk op dat voor het elektron dat loodrecht door het veld gaat, deze kracht ervoor zorgt dat het in een cirkelvormig pad beweegt. De straal van dit cirkelvormige pad kan worden gevonden door de magnetische kracht gelijk te stellen aan de middelpuntzoekende kracht en op te lossen voor straalr​:

F_{mag} = qvB\sin (90) = qvB = \frac{mv^2}{r} = F_{cent}\\ \implies r = \frac{mv}{qB}

Voor het bovenstaande voorbeeld levert het inpluggen van de cijfers een straal van ongeveer 0,0227 m op.

Voorbeeld 2:De fysieke hoeveelheid koppel wordt ook berekend met behulp van een vector-uitproduct. Als een krachtFwordt toegepast op een object op positiervanaf het draaipunt, het koppelτover het draaipunt wordt gegeven door:

\bold{\tau} = \bold{r\times F}

Beschouw de situatie waarin een kracht van 7 N wordt uitgeoefend onder een hoek op het uiteinde van een staaf van 0,75 waarvan het andere uiteinde is bevestigd aan een spil. De hoek tussenrenFis 70 graden, dus het koppel kan worden berekend:

\bold{\tau} = \bold{r\times F} = rF\sin(\theta) = (0.75)(7)\sin (70)\bold{n} = 4.93 \text{Nm }\bold{ n}

De richting van het koppel,nee, wordt gevonden via de rechterhandregel. Indien toegepast op de afbeelding hierboven, geeft dit een richting die uit de pagina of het scherm komt. Over het algemeen zal een koppel dat op een object wordt uitgeoefend, ervoor zorgen dat het object gaat roteren. De koppelvector zal altijd in dezelfde richting liggen als de rotatie-as.

In feite kan in deze situatie een vereenvoudigde rechterhandregel worden gebruikt: gebruik uw rechterhand om de rotatie-as in zodanig dat uw vingers ronddraaien in de richting waarin het bijbehorende koppel het object wil laten roteren. Je duim wijst dan in de richting van de koppelvector.

Afleiding van cross-productformule

\text{Hier laten we zien hoe de kruisproductformule } \bold{a × b} = |\bold{a}| |\vet{b}| \sin (θ) \bold{n} \text{ kan worden afgeleid.}

Overweeg twee vectoreneenenbmet hoekθtussen hen. Een rechthoekige driehoek kan worden gevormd door een lijn te trekken vanaf de punt van vectoreennaar een loodrecht contactpunt op vectorb​.

Met behulp van de stelling van Pythagoras krijgen we de volgende relatie:

\Big|\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b}\Big|^2 + (|\bold{a} |\sin(\theta))^2 = |\bold{a}|^2

\text{Waar }\Big(\frac{\bold{a\cdot b}}{|\bold{b}|^2}\Big)\bold{b} \text{ is de projectie van vector } \bold {a} \tekst{ op vector } \vet{b}.

Door de uitdrukking een beetje te vereenvoudigen, krijgen we het volgende:

\frac{|\bold{a\cdot b}|^2}{|\bold{b}|^2} + |\bold{a}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{ een}|^2

Vermenigvuldig vervolgens beide zijden van de vergelijking met |b​|2 en verplaats de eerste term naar de rechterkant om te krijgen:

|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2\sin^2(\theta) = |\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{ a\cdot b}|^2

Werk met de rechterkant, vermenigvuldig alles uit en vereenvoudig vervolgens:

|\bold{a}|^2|\bold{b}|^2 - |\bold{a\cdot b}|^2 = [(a_x)^2 + (a_y)^2 + (a_z)^2 ][(b_x)^2 + (b_y)^2 + (b_z)^2]\\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z)(a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y)^2 + (a_xb_z)^ 2 + (a_yb_x)^2 + (a_yb_z)^2 + (a_zb_x)^2 + a_zb_y)^2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z -y) (a_xb_y - a_yb_x)^2\\ = |\bold{a\times b}|^2

Als we het resultaat gelijk stellen aan de linkerkant van de vorige vergelijking, krijgen we de volgende relatie:

|\vet{a\times b}| = |\bold{a}||\bold{b}||\sin(\theta)|

Dit laat ons zien dat de grootheden hetzelfde zijn in de formule, dus het laatste wat we moeten doen om de formule te bewijzen, is laten zien dat de richtingen ook hetzelfde zijn. Dit kan eenvoudig worden gedaan door de puntproducten vaneenmeta × benbmeta × ben laten zien dat ze 0 zijn, wat impliceert dat de richting vana × b staat loodrecht op beide.

Teachs.ru
  • Delen
instagram viewer