Hoe een afgeleide uit een grafiek te schatten?

Veranderingssnelheden komen overal in de wetenschap naar voren, en vooral in de natuurkunde door grootheden als snelheid en versnelling. Derivaten beschrijven de mate van verandering van de ene hoeveelheid ten opzichte van een andere wiskundig, maar berekenend ze kunnen soms ingewikkeld zijn en u krijgt mogelijk een grafiek te zien in plaats van een functie in de vergelijking het formulier. Als u een grafiek van een curve krijgt en de afgeleide ervan moet vinden, kunt u misschien niet zo nauwkeurig zijn als met een vergelijking, maar u kunt gemakkelijk een solide schatting maken.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Kies een punt op de grafiek om de waarde van de afgeleide te vinden.

Teken op dit punt een rechte lijn die de kromme van de grafiek raakt.

Neem de helling van deze lijn om de waarde van de afgeleide op het door u gekozen punt in de grafiek te vinden.

Buiten de abstracte setting van het differentiëren van een vergelijking, ben je misschien een beetje in de war over wat een afgeleide eigenlijk is. In de algebra is een afgeleide van een functie een vergelijking die je op elk punt de waarde van de "helling" van de functie vertelt. Met andere woorden, het vertelt u hoeveel de ene hoeveelheid verandert bij een kleine verandering in de andere. In een grafiek vertelt het verloop of de helling van de lijn hoeveel de afhankelijke variabele (geplaatst op de

instagram story viewer
ja-as) verandert met de onafhankelijke variabele (op deX-as).

Voor lineaire grafieken bepaal je de (constante) veranderingssnelheid door de helling van de grafiek te berekenen. Relaties beschreven door curven zijn niet zo gemakkelijk om mee om te gaan, maar het principe dat de afgeleide alleen de helling betekent (op dat specifieke punt) geldt nog steeds.

Voor relaties die door krommen worden beschreven, neemt de afgeleide op elk punt langs de kromme een andere waarde aan. Om de afgeleide van de grafiek te schatten, moet je een punt kiezen om de afgeleide te nemen. Als u bijvoorbeeld een grafiek hebt die de afgelegde afstand tegen de tijd weergeeft, in een rechte lijngrafiek, zou de helling u de constante snelheid vertellen. Voor snelheden die met de tijd veranderen, zou de grafiek een curve zijn, maar een rechte lijn die net de. raakt curve op één punt (een lijn die de curve raakt) vertegenwoordigt de veranderingssnelheid op dat specifieke punt punt.

Kies een plek waarvan je de afgeleide moet kennen. Gebruik de afgelegde afstand vs. tijd voorbeeld, selecteer het tijdstip waarop u de reissnelheid wilt weten. Als u de snelheid op verschillende punten wilt weten, kunt u dit proces voor elk afzonderlijk punt doorlopen. Als je de snelheid 15 seconden na het begin van de beweging wilt weten, kies dan de plek op de curve op 15 seconden op deX-as.

Teken een lijn die de kromme raakt op het punt waarin u geïnteresseerd bent. Neem hier de tijd voor, want dit is het belangrijkste en meest uitdagende onderdeel van het proces. Uw schatting zal beter zijn als u een nauwkeuriger raaklijn tekent. Houd een liniaal tegen het punt op de curve en pas de richting aan zodat de lijn die u tekent dat ook doetenkel en alleenraak de curve aan op het enige punt waarin u geïnteresseerd bent.

Trek je lijn zo lang als de grafiek het toelaat. Zorg ervoor dat u gemakkelijk twee waarden kunt lezen voor zowel deXenjacoördinaten, één aan het begin van uw lijn en één aan het einde. U hoeft absoluut geen lange lijn te tekenen (technisch gezien is elke rechte lijn geschikt), maar langere lijnen zijn meestal gemakkelijker om de helling te meten.

Zoek twee plaatsen op uw lijn en noteer deXenjacoördinaten voor hen. Stel je bijvoorbeeld je raaklijn voor als twee opvallende plekken opX​ = 1, ​ja= 3 enX​ = 10, ​ja= 30, die u Punt 1 en Punt 2 kunt noemen. De symbolen gebruikenX1 enja1 om de coördinaten van het eerste punt weer te geven enX2 enja2 om de coördinaten van het tweede punt weer te geven, de hellingmis gegeven door:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Dit vertelt je de afgeleide van de curve op het punt waar de lijn de curve raakt. In het voorbeeld,X1 = 1, ​X2 = 10, ​ja1 = 3 enja2 = 30, dus:

\begin{uitgelijnd} m &= \frac{30 - 3}{10 - 1} \\ \,\\ &= \frac{27}{9} \\ \,\\ &=9 \end{uitgelijnd}

In het voorbeeld zou dit resultaat de snelheid op het gekozen punt zijn. Dus als deX-as werd gemeten in seconden en deja-as werd gemeten in meters, zou het resultaat betekenen dat het betreffende voertuig met 3 meter per seconde reed. Ongeacht de specifieke hoeveelheid die u berekent, is het proces van het schatten van de afgeleide hetzelfde.

Teachs.ru
  • Delen
instagram viewer