Hoe volumes van vijfhoekige prisma's te berekenen

EEN prisma kan een elegant decoratief item zijn, een hulpmiddel in de natuurkunde of gewoon een verleidelijke geometrische constructie die toevallig ook nuttig is. Het menselijk oog en de geest hebben een yen voor symmetrie in kunst en in de natuur, en ze vinden aantrekkelijkheid in driedimensionale vormen die regelmatig, veelzijdig zijn en licht doorlaten en reflecteren.

Objecten met een veel van zijden - bijvoorbeeld een dodecaëder, die 12 identieke vijfzijdige vlakken heeft die het oppervlak vormen - zijn leuk om naar te kijken, maar de wiskunde die aan hun geometrie ten grondslag ligt, kan op zijn best vervelend zijn.

Een vijfzijdig (dat wil zeggen, vijfhoekig) prisma is een handig startpunt voor studenten die proberen te leren hoe ze de volumes van regelmatige veelvlakken, waarvan prisma's een van de vele gangbare typen zijn en een oneindig aantal theoretische typen.

"Veelvlakken" klinkt misschien als een monster uit de wereld van de Griekse mythologie. In feite is het "Griekse" deel daarvan correct: het woord

Een veelvlak is een driedimensionaal lichaam dat bestaat uit vlakke vlakken. Het gezicht waarop een veelvlak "rustend" is afgebeeld, is de basis, die identiek kan zijn aan alle, sommige of geen van de andere gezichten. Het eenvoudigste voorbeeld is een piramide, die vier driehoekige vlakken heeft. Een kubus heeft zes identieke vlakken en is een speciaal geval van a kubusvormig, wat een zeshoekige figuur is die bestaat uit rechte hoeken.

EEN prisma is een veelvlak dat zou kunnen zijn gemaakt door a te "duwen" veelhoek, of tweedimensionale figuur met drie of meer hoeken, in een rechte lijn door de ruimte om twee uiteinden te vormen en ze te verbinden met zoveel evenwijdige vlakken als het prisma zijden heeft. Het eenvoudigste prisma bestaat uit twee gelijkzijdige driehoeken met hun vlakken evenwijdig aan elkaar en gescheiden door drie identieke rechthoekige vlakken die in een hoek van 60 graden zijn georiënteerd ten opzichte van hun aangrenzende gezichten.

EEN vijfhoekig prisma hetzelfde breidde zich uit met twee extra hoeken en nog twee vlakken. Het omvat dus twee vijfhoekige basissen en vijf rechthoekige zijden. Het is daarom een heptaëder, omdat het zeven zijden heeft (hepta- is een Grrek-voorvoegsel dat "zeven" betekent).

Het gebied van een regelmatige veelhoek (dat wil zeggen, een waarin alle hoeken en zijden identiek zijn) met zijdelengte zo kan worden gevonden uit de formule:

A = (n)(s²)/[4 bruin (180/n)]

Voor een vijfhoek (n = 5) wordt dit teruggebracht tot:

A = 5s²/2.91 = 1.72s²

Als je een vijfhoekig prisma van karton zou "ontvouwen" of "platdrukken", zou je twee identieke vijfhoekige vlakken (de basis van het prisma) en vijf identieke rechthoekige vlakken overhouden.

Twee zijden van elke rechthoek worden gedeeld met zijden van de vijfhoeken; noem deze lengte zo. Als je label de andere twee kanten noemt (die zo kort of zo lang kunnen zijn als je wilt, tenminste in theorie) h, dan is de oppervlakte van elke rechthoekige zijde sh, en het gebied van alle zijden gecombineerd is 5sh.

Er zijn twee vijfhoekige vlakken, dus de totale oppervlakte van een vijfhoekig prisma is:

A = 5(sh) + 2(1,72s²) = 5(sh) + 3.44s²

Voor elk standaardprisma is het volume slechts het gebied van de basis maal de hoogte. Dat betekent vermenigvuldigen met 1,72s², de waarde voor het gebied van een vijfhoek uit de vorige vergelijking, door de hoogte h in welke eenheden u ook gebruikt. De volumeformule is:

V = 1.72s²h

Als u bijvoorbeeld een groot vijfhoekig prisma heeft met een hoogte van 30 cm (0,3 m) en zijden van 10 cm (0,1 m), is de oppervlakte:

A = 5(sh) + 2(1,72s²) = 5(0,3 m)(0,1 m) + 2(1,72)(0,1 m)²

= 0,15 + 0,0344 = 0,1844 m²

Het volume wordt gegeven door:

V = (1,72) (0,1 m)²(0,3 m) = 0,00516 = 5,16 × 10^-3 m³