In de wiskunde is een reciproke van een getal het getal dat, wanneer vermenigvuldigd met het oorspronkelijke getal, 1 oplevert. Het omgekeerde voor de variabele x is bijvoorbeeld 1/X, omdat
x × \frac{1}{x} = \frac{x}{x} = 1
In dit voorbeeld 1/Xis de wederkerige identiteit vanX, en vice versa. In trigonometrie kan elk van de niet-90-graden hoeken in een rechthoekige driehoek worden gedefinieerd door verhoudingen die de sinus, cosinus en tangens worden genoemd. Door het concept van wederkerige identiteiten toe te passen, definiëren wiskundigen nog drie verhoudingen. Hun namen zijn cosecans, secans en cotangens. Cosecans is de wederkerige identiteit van sinus, secans die van cosinus en cotangens die van tangens.
Wederzijdse identiteiten bepalen?
Overweeg een hoekθ, wat een van de twee niet-90-graden hoeken is in een rechthoekige driehoek. Als de lengte van de zijde van de driehoek tegenover de hoek "b, "de lengte van de zijde die grenst aan de hoek en tegenover de hypotenusa is "een" en de lengte van de hypotenusa is "
\text{sinus } θ = \sin θ = \frac{b}{r} \\ \,\\ \text{cosinus }θ = \cos θ = \frac{a}{r} \\ \,\\ \text{tangens }θ = \tan θ = \frac{b}{a} \\
De wederkerige identiteit van zondeθmoet gelijk zijn aan 1/sin θ, aangezien dat het getal is dat, vermenigvuldigd met sinθ, produceert 1. Hetzelfde geldt voor cosθen tanθ. Wiskundigen geven deze reciprocals respectievelijk de namen cosecans, secans en cotangens. Per definitie:
\text{cosecant }θ = \csc θ = \frac{1}{\sin θ} \\ \,\\ \text{secant }θ = \sec θ = \frac{1}{\cos θ} \\ \,\\ \text{cotangens }θ = \cot θ = \frac{1}{\tan θ}
U kunt deze wederkerige identiteiten als volgt definiëren in termen van de lengtes van de zijden van de rechthoekige driehoek:
\csc θ = \frac{r}{b} \\ \,\\ \sec θ = \frac{r}{a} \\ \,\\ \cot θ = \frac{a}{b}
De volgende relaties zijn waar voor elke hoek:θ:
\sin θ × \csc θ = 1 \\ \cos θ × \sec θ = 1 \\ \tan θ × \cot θ = 1
Twee andere goniometrische identiteiten
Als je de sinus en cosinus van een hoek kent, kun je de tangens afleiden. Dit is waar omdat
\sin θ = \frac{b}{r} \text{ en } \cos θ = \frac{a}{r} \text{, dus } \frac{\sin θ}{\cos θ} = \frac {b}{r} × \frac{r}{a} = \frac{b}{a}
Aangezien dit de definitie van tan θ is, volgt de volgende identiteit, bekend als de quotiëntidentiteit:
\frac{\sin θ}{\cos θ} = \tan θ \\ \,\\ \frac{\cos θ}{\sin θ} = \cot θ
De identiteit van Pythagoras volgt uit het feit dat, voor elke rechthoekige driehoek met zijdeneenenben hypotenusar, is het volgende waar:een2 + b2 = r2. Door termen te herschikken en verhoudingen te definiëren in termen van sinus en cosinus, kom je tot de volgende uitdrukking:
\sin^2 θ + \cos^2 θ = 1
Twee andere belangrijke relaties volgen wanneer u wederkerige identiteiten voor sinus en cosinus invoegt in de bovenstaande uitdrukking:
\tan^2 θ + 1 = \sec^2 θ \\ \cot^2 θ + 1 = \csc^2 θ