Heb je je ooit afgevraagd hoe trigonometrische functies zoals sinus en cosinus gerelateerd zijn? Ze worden allebei gebruikt voor het berekenen van zijden en hoeken in driehoeken, maar de relatie gaat verder dan dat.Cofunctionele identiteitengeef ons specifieke formules die laten zien hoe te converteren tussen sinus en cosinus, tangens en cotangens, en secans en cosecans.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
De sinus van een hoek is gelijk aan de cosinus van zijn complement en vice versa. Dit geldt ook voor andere cofuncties.
Een gemakkelijke manier om te onthouden welke functies cofuncties zijn, is dat twee trig-functies zijncofunctiesals een van hen het voorvoegsel "co-" ervoor heeft. Zo:
- sinus encosinus zijncofuncties.
- raaklijn encoraaklijn zijncofuncties.
- secans encosecans zijncofuncties.
We kunnen heen en weer rekenen tussen cofuncties met behulp van deze definitie: De waarde van een functie van een hoek is gelijk aan de waarde van de cofunctie van het complement.
Dat klinkt ingewikkeld, maar laten we in plaats van te praten over de waarde van een functie in het algemeen een specifiek voorbeeld gebruiken. De
sinusvan een hoek is gelijk aan decosinusvan zijn complement. En hetzelfde geldt voor andere cofuncties: de tangens van een hoek is gelijk aan de cotangens van zijn complement.Onthoud: twee hoeken zijn:complementenals ze oplopen tot 90 graden.
Cofunctie-identiteiten in graden:
(Merk op dat 90° −Xgeeft ons het complement van een hoek.)
\sin (x) = \cos (90° - x) \\ \cos (x) = \sin (90° - x) \\ \tan (x) = \cot (90° - x) \\ \cot (x) = \tan (90° - x) \\ \sec (x) = \csc (90° - x)\\ \csc (x) = \sec (90° - x)
Cofunctie-identiteiten in radialen
Onthoud dat we dingen ook kunnen schrijven in termen van:radialen, wat de SI-eenheid is voor het meten van hoeken. Negentig graden is hetzelfde als π/2 radialen, dus we kunnen de cofunctie-identiteiten ook als volgt schrijven:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cos (x) = \sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \tan (x) = \cot\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \cot (x) = \tan\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) \\ \,\\ \sec (x) = \csc\bigg(\frac{ π}{2} - x\bigg)\\ \,\\ \csc (x) = \sec\bigg(\frac{π}{2} - x\big)
Cofunctie Identiteiten Bewijs
Dit klinkt allemaal mooi, maar hoe kunnen we bewijzen dat dit waar is? Als u het zelf uitprobeert op een paar voorbeelddriehoeken, kunt u er zeker van zijn, maar er is ook een meer rigoureus algebraïsch bewijs. Laten we de cofunctie-identiteiten voor sinus en cosinus bewijzen. We gaan werken in radialen, maar het is hetzelfde als graden gebruiken.
Bewijs:
\sin (x) = \cos\bigg(\frac{π}{2} - x \bigg)
Zoek allereerst ver terug in je geheugen naar deze formule, want we gaan het gebruiken in ons bewijs:
\cos (A - B) = \cos (A)\cos (B) + \sin (A)\sin (B)
Begrepen? OK. Laten we nu bewijzen: sin(X) = cos (π/2 − x).
We kunnen cos herschrijven (π/2 −X) soortgelijk:
\cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) + \sin\bigg(\frac{π }{2}\bigg)\sin (x) \\ \,\\ \cos\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = 0 × \cos (x) + 1 ×\sin ( X)
omdat we weten
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ en } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
Zo
\cos\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) = \sin (x)
Ta-da! Laten we het nu bewijzen met cosinus!
Bewijs:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
Nog een knaller uit het verleden: herinner je je deze formule nog?
\sin (A - B) = \sin (A)\cos (B) - \cos (A)\sin (B)
We gaan het gebruiken. Laten we nu bewijzen:
\cos (x)=\sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg)
We kunnen zonde herschrijven (π/2 −X) soortgelijk:
\begin{uitgelijnd} \sin\bigg(\frac{π}{2} -x\bigg) &= \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg)\cos (x) - \cos\ bigg(\frac{π}{2}\bigg)\sin (x) \\ &= 1 × \cos (x) - 0 × \sin (x) \end{aligned}
omdat we weten
\cos\bigg(\frac{π}{2}\bigg)= 0 \text{ en } \sin\bigg(\frac{π}{2}\bigg) = 1
Dus we krijgen
\sin\bigg(\frac{π}{2} - x\bigg) = \cos (x)
Cofunctie-rekenmachine
Probeer een paar voorbeelden van werken met co-functies op uw eigen. Maar als je vastloopt, heeft Math Celebrity een cofunctiecalculator die stapsgewijze oplossingen voor cofunctieproblemen laat zien.
Veel plezier met rekenen!