De meeste mensen herinneren zich deDe stelling van Pythagorasvan beginnersgeometrie - het is een klassieker. Haar
a^2 + b^2 = c^2
waareen, benczijn de zijden van een rechthoekige driehoek (cis de hypotenusa). Welnu, deze stelling kan ook worden herschreven voor trigonometrie!
TL; DR (te lang; niet gelezen)
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Identiteiten van Pythagoras zijn vergelijkingen die de stelling van Pythagoras schrijven in termen van de trig-functies.
de belangrijkstePythagoras identiteitenzijn:
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1 \\ 1 + \tan^2(θ) = \sec^2(θ) \\ 1 + \cot^2(θ) = \csc ^2(θ)
De identiteiten van Pythagoras zijn voorbeelden vantrigonometrische identiteiten: gelijkheden (vergelijkingen) die trigonometrische functies gebruiken.
Waarom maakt het uit?
De identiteiten van Pythagoras kunnen erg handig zijn voor het vereenvoudigen van ingewikkelde trig-statements en vergelijkingen. Onthoud ze nu en u kunt uzelf onderweg veel tijd besparen!
Bewijs met behulp van de definities van de trig-functies
Deze identiteiten zijn vrij eenvoudig te bewijzen als je nadenkt over de definities van de trig-functies. Laten we bijvoorbeeld bewijzen dat
\sin^2(θ) + \cos^2(θ) = 1
Onthoud dat de definitie van sinus tegengestelde zijde / hypotenusa is en dat cosinus aangrenzende zijde / hypotenusa is.
Zo
\sin^2 = \frac{\text{tegenover}^2} {\text{hypotenuse}^2}
En
\cos^2 = \frac{\text{aangrenzend}^2} {\text{hypotenusa}^2}
Je kunt deze twee gemakkelijk bij elkaar optellen omdat de noemers hetzelfde zijn.
\sin^2 + \cos^2 = \frac{ \text{tegenover}^2 + \text{aangrenzend}^2} {\text{hypotenuse}^2}
Kijk nu nog eens naar de stelling van Pythagoras. Het zegt dateen2 + b2 = c2. Houd er rekening mee dateenenbstaan voor de tegenoverliggende en aangrenzende zijden, encstaat voor de hypotenusa.
U kunt de vergelijking herschikken door beide zijden te delen doorc2:
a^2 + b^2 = c^2 \\ \frac{a^2 + b^2}{ c^2 } = 1
Sindseen2 enb2 zijn de tegenovergestelde en aangrenzende zijden enc2 is de hypotenusa, je hebt een verklaring die gelijkwaardig is aan die hierboven, met (tegenover2 + aangrenzend2) / hypotenusa2. En dankzij het werk meteen, b, cen de stelling van Pythagoras, je kunt nu zien dat deze verklaring gelijk is aan 1!
Zo
\frac{ \text{tegenover}^2 + \text{aangrenzend}^2} {\text{hypotenuse}^2} = 1
en daarom:
\sin^2 + \cos^2 = 1
(En het is beter om het goed uit te schrijven: sin2(θ) + cos2(θ) = 1).
De wederkerige identiteiten
Laten we een paar minuten kijken naar dewederkerige identiteitenook. Onthoud dat dewederkerigis één gedeeld door ("over") uw nummer - ook bekend als het omgekeerde.
Aangezien cosecans het omgekeerde is van sinus:
\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)}
Je kunt ook denken aan cosecans met behulp van de definitie van sinus. Bijvoorbeeld sinus = tegenoverliggende zijde / hypotenusa. Het omgekeerde daarvan is de breuk die ondersteboven wordt gedraaid, wat hypotenusa / tegenoverliggende kant is.
Evenzo is de reciproke cosinus secans, dus het is gedefinieerd als
\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} \text{ of } \frac{\text{hypotenuse}}{\text{aangrenzende zijde}}
En de reciproke tangens is cotangent, dus
\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{\text{aangrenzende zijde}}{\text{andere zijde}}
De bewijzen voor de identiteiten van Pythagoras die secans en cosecans gebruiken, lijken erg op die voor sinus en cosinus. U kunt de vergelijkingen ook afleiden met behulp van de "ouder" vergelijking, sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Deel beide zijden door cos2(θ) om de identiteit 1 + tan. te krijgen2(θ) = sec2(θ). Verdeel beide kanten door sin2(θ) om de identiteit te krijgen 1 + kinderbed2(θ) = csc2(θ).
Veel succes en vergeet niet de drie Pythagoreïsche identiteiten te onthouden!