Net als in algebra, wanneer je trigonometrie begint te leren, verzamel je sets formules die nuttig zijn voor het oplossen van problemen. Eén zo'n set zijn de identiteiten met een halve hoek, die je voor twee doeleinden kunt gebruiken. Een daarvan is om trigonometrische functies van (θ/2) in functies in termen van de meer bekende (en gemakkelijker te manipuleren)θ. De andere is om de werkelijke waarde van trigonometrische functies van te vindenθ, wanneerθkan worden uitgedrukt als de helft van een meer bekende hoek.
De identiteiten met een halve hoek bekijken
Veel wiskundeboeken zullen vier primaire identiteiten met een halve hoek vermelden. Maar door een mix van algebra en trigonometrie toe te passen, kunnen deze vergelijkingen worden gemasseerd in een aantal bruikbare vormen. Je hoeft deze niet per se allemaal te onthouden (tenzij je leraar erop aandringt), maar je moet in ieder geval begrijpen hoe je ze moet gebruiken:
Half-Angle Identiteit voor Sine
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
Half-Angle Identiteit voor Cosinus
\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}
Halve-hoekidentiteiten voor Tangent
\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{ θ}{2}\big) = \frac{\sinθ}{1 + \cosθ} \\ \,\\ \tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 - \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \tan\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ - \cotθ
Halve hoekidentiteiten voor cotangens
\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 - \cosθ}} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{ θ}{2}\big) = \frac{\sinθ}{1 - \cosθ} \\ \,\\ \cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = \frac{1 + \cosθ}{\sinθ} \\ \,\\ \cot\bigg( \frac{θ}{2}\bigg) = \cscθ + \cotθ
Een voorbeeld van het gebruik van identiteiten met een halve hoek
Dus hoe gebruik je identiteiten met een halve hoek? De eerste stap is erkennen dat je te maken hebt met een hoek die de helft is van een meer bekende hoek.
- Kwadrant I: alle trig-functies
- Kwadrant II: alleen sinus en cosecans
- Kwadrant III: alleen tangens en cotangens
- Kwadrant IV: alleen cosinus en secans
stel je voor dat je wordt gevraagd om de sinus van de hoek van 15 graden te vinden. Dit is niet een van de hoeken waarvoor de meeste studenten de waarden van trig-functies zullen onthouden. Maar als je 15 graden gelijk laat aan θ/2 en dan oplost voor θ, dan vind je dat:
\frac{θ}{2} = 15 \\ θ = 30
Omdat de resulterende θ, 30 graden, een bekendere hoek is, is het nuttig om hier de formule voor een halve hoek te gebruiken.
Omdat je bent gevraagd om de sinus te vinden, is er eigenlijk maar één formule voor een halve hoek om uit te kiezen:
\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) = ±\sqrt{\frac{1 - \cosθ}{2}}
vervangen doorθ/2 = 15 graden enθ= 30 graden geeft je:
\sin (15) = ±\sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Als je was gevraagd om de raaklijn of cotangens te vinden, die beide manieren halve vermenigvuldigen om hun identiteit met een halve hoek uit te drukken, zou je gewoon de versie kiezen die er het gemakkelijkst uitzag.
Het ± teken aan het begin van sommige identiteiten met een halve hoek betekent dat de betreffende wortel positief of negatief kan zijn. U kunt deze dubbelzinnigheid oplossen door uw kennis van trigonometrische functies in kwadranten te gebruiken. Hier is een korte samenvatting van welke trig-functies terugkerenpositiefwaarden in welke kwadranten:
Omdat in dit geval je hoek θ 30 graden voorstelt, wat in kwadrant I valt, weet je dat de sinuswaarde die hij teruggeeft positief zal zijn. U kunt dus het ± teken laten vallen en eenvoudig evalueren:
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \cos (30)}{2}}
Vervang de bekende, bekende waarde van cos (30). Gebruik in dit geval de exacte waarden (in tegenstelling tot decimale benaderingen uit een grafiek):
\sin (15) = \sqrt{\frac{1 - \sqrt{3/2}}{2}}
Vereenvoudig vervolgens de rechterkant van je vergelijking om een waarde voor sin te vinden (15). Begin met het vermenigvuldigen van de uitdrukking onder het wortelteken met 2/2, wat je geeft:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2(1 - \sqrt{3/2})}{4}}
Dit vereenvoudigt tot:
\sin (15) = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}
Je kunt dan de vierkantswortel van 4 weghalen:
\sin (15) = \frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{3}}
In de meeste gevallen gaat dit ongeveer zo ver als u zou vereenvoudigen. Hoewel het resultaat misschien niet erg mooi is, heb je de sinus van een onbekende hoek in een exacte hoeveelheid vertaald.