Formule voor het volume van een achthoek

In de meetkunde is een achthoek een veelhoek met acht zijden. Een regelmatige achthoek heeft acht gelijke zijden en gelijke hoeken. De regelmatige achthoek wordt algemeen herkend aan stopborden. Een octaëder is een achtzijdig veelvlak. Een regelmatige octaëder heeft acht driehoeken met randen van gelijke lengte. Het zijn in feite twee vierkante piramides die elkaar ontmoeten op hun basis.

De formule voor de oppervlakte van een regelmatige achthoek met zijden van lengte "a" is 2(1+sqrt (2))a^2, waarbij "sqrt" de vierkantswortel aangeeft.

Een achthoek kan worden gezien als 4 rechthoeken, één vierkant in het midden en vier gelijkbenige driehoeken in de hoeken.

Het vierkant heeft oppervlakte a^2.

De driehoeken hebben zijden a, a/sqrt (2) en a/sqrt (2), volgens de stelling van Pythagoras. Daarom heeft elk een oppervlakte van a ^ 2/4.

De rechthoeken hebben oppervlakte a * a/sqrt (2).

De som van deze 9 gebieden is 2a^2 (1 + sqrt (2)).

De formule voor het volume van een regelmatige octaëder met zijden "a" is a^3 * sqrt (2)/3.

De oppervlakte van een vierzijdige piramide is de oppervlakte van de basis * hoogte / 3. De oppervlakte van een regelmatige achthoek is dus 2 * basis * hoogte / 3.

Basis = a ^ 2 triviaal.

Kies twee aangrenzende hoekpunten, zeg 'F' en 'C'. "O" staat in het midden. FOC is een gelijkbenige rechthoekige driehoek met basis "a", dus OC en OF hebben lengte a/sqrt (2) volgens de stelling van Pythagoras. Dus hoogte = a/sqrt (2).

Het volume van een regelmatige octaëder is dus 2 * (a^2) * a/sqrt (2) / 3 = a^3 * sqrt (2) / 3.

Het oppervlak van de regelmatige octaëder is het gebied van een gelijkzijdige driehoek met zijde "a" maal 8 vlakken.

Om de stelling van Pythagoras te gebruiken, laat je een lijn van de top naar de basis vallen. Dit creëert twee rechthoekige driehoeken, met de schuine zijde van lengte "a" en één zijde lengte "a/2". Daarom moet de derde zijde sqrt[a^2 - a^2/4] = sqrt (3)a/2 zijn. Dus de oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek is hoogte * grondtal/2 = sqrt (3)a/2 * a/2 = sqrt (3)a^2/4.

Met 8 zijden is de oppervlakte van een regelmatige octaëder 2 * sqrt (3) * a ^ 2.