Verticale en horizontale asymptoten vinden

Wanneer uitgedrukt in een grafiek, zijn sommige functies continu van negatief oneindig tot positief oneindig. Dit is echter niet altijd het geval: andere functies breken af ​​op een punt van discontinuïteit, of gaan uit en komen nooit verder dan een bepaald punt in de grafiek. Verticale en horizontale asymptoten zijn rechte lijnen die de waarde definiëren die een bepaalde functie nadert als deze zich niet tot oneindig in tegengestelde richtingen uitstrekt. Horizontale asymptoten volgen altijd de formule y = C, terwijl verticale asymptoten altijd de vergelijkbare formule x = C volgen, waarbij de waarde C een constante vertegenwoordigt. Het vinden van asymptoten, of die asymptoten nu horizontaal of verticaal zijn, is een gemakkelijke taak als je een paar stappen volgt.

Om een ​​verticale asymptoot te vinden, schrijft u eerst de functie waarvan u de asymptoot wilt bepalen. Hoogstwaarschijnlijk zal deze functie een rationale functie zijn, waarbij de variabele x ergens in de noemer is opgenomen. Als de noemer van een rationale functie nul nadert, heeft deze in de regel een verticale asymptoot. Nadat u uw functie hebt uitgeschreven, zoekt u de waarde van x die de noemer gelijk aan nul maakt. Als de functie waarmee u werkt bijvoorbeeld y = 1/(x+2) is, zou u de vergelijking x+2 = 0 oplossen, een vergelijking met het antwoord x = -2. Er kan meer dan één mogelijke oplossing zijn voor complexere functies.

Zodra je de x-waarde van je functie hebt gevonden, neem je de limiet van de functie als x de gevonden waarde vanuit beide richtingen nadert. Voor dit voorbeeld, als x -2 van links nadert, nadert y negatief oneindig; wanneer -2 van rechts wordt benaderd, nadert y positief oneindig. Dit betekent dat de grafiek van de functie splitst bij de discontinuïteit, springend van negatief oneindig naar positief oneindig. Als u met een complexere functie werkt die meer dan één mogelijke oplossing heeft, moet u de limiet van elke mogelijke oplossing nemen. Schrijf ten slotte de vergelijkingen van de verticale asymptoten van de functie door x gelijk te stellen aan elk van de waarden die in de limieten worden gebruikt. Voor dit voorbeeld is er maar één asymptoot: gegeven door de vergelijking is de verticale asymptoot gelijk aan x = -2.

Hoewel horizontale asymptotenregels enigszins kunnen verschillen van die van verticale asymptoten, is het proces van het vinden van horizontale asymptoten net zo eenvoudig als het vinden van verticale. Begin met het uitschrijven van uw functie. Horizontale asymptoten zijn te vinden in een grote verscheidenheid aan functies, maar ze zullen waarschijnlijk ook in rationale functies worden gevonden. Voor dit voorbeeld is de functie y = x/(x-1). Neem de limiet van de functie als x oneindig nadert. In dit voorbeeld kan de "1" worden genegeerd omdat deze onbelangrijk wordt naarmate x oneindig nadert (omdat oneindig min 1 nog steeds oneindig is). Dus de functie wordt x/x, wat gelijk is aan 1. Daarom is de limiet als x oneindig nadert van x/(x-1) gelijk aan 1.

Gebruik de oplossing van de limiet om je asymptootvergelijking te schrijven. Als de oplossing een vaste waarde is, is er een horizontale asymptoot, maar als de oplossing oneindig is, is er geen horizontale asymptoot. Als de oplossing een andere functie is, is er een asymptoot, maar deze is niet horizontaal of verticaal. Voor dit voorbeeld is de horizontale asymptoot y = 1.

Maak je geen zorgen als je te maken hebt met problemen met trigonometrische functies die asymptoten hebben: het vinden van asymptoten voor deze functies is net zo eenvoudig als het volgen van dezelfde stappen die u gebruikt voor het vinden van de horizontale en verticale asymptoten van rationale functies, met behulp van de verschillende grenzen. Wanneer u dit probeert, is het echter belangrijk om te beseffen dat trig-functies cyclisch zijn en als gevolg daarvan veel asymptoten kunnen hebben.