In de wiskunde is een wortel een willekeurig getal dat het wortelteken (√) bevat. Het getal onder het wortelteken is een vierkantswortel als er geen superscript voorafgaat aan het wortelteken, een derdemachtswortel is een superscript 3 eraan voorafgaat (3√), een vierde wortel als er een 4 aan voorafgaat (4) enzovoort. Veel radicalen kunnen niet worden vereenvoudigd, dus het delen door één vereist speciale algebraïsche technieken. Onthoud deze algebraïsche gelijkheden om er gebruik van te maken:
\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
\sqrt{a × b} = \sqrt{a} × \sqrt{b}
Numerieke vierkantswortel in de noemer
Over het algemeen ziet een uitdrukking met een numerieke vierkantswortel in de noemer er als volgt uit:
\frac{a}{\sqrt{b}}
Om deze breuk te vereenvoudigen, rationaliseer je de noemer door de hele breuk te vermenigvuldigen met √b/√b.
Omdat
\sqrt{b} × \sqrt{b} = \sqrt{b^2} = b
de uitdrukking wordt
\frac{a\sqrt{b}}{b}
Voorbeelden:
1. Rationaliseer de noemer van de breuk
\frac{5}{\sqrt{6}}
Oplossing:Vermenigvuldig de breuk met √6/√6
\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} \\ \,\\ \frac{5\sqrt{6}}{6} \text{ of } \frac{5 }{6}× \sqrt{6}
2. Vereenvoudig de breuk
\frac{6\sqrt{32}}{3\sqrt{8}}
Oplossing:In dit geval kunt u het vereenvoudigen door de getallen buiten het wortelteken en die erbinnen in twee afzonderlijke bewerkingen te delen:
\frac{6}{3} = 2 \\ \,\\ \frac{\sqrt{32}}{ \sqrt{8}} = \sqrt{4} = 2
De uitdrukking reduceert tot
2 × 2 = 4
Delen door kubuswortels
Dezelfde algemene procedure is van toepassing wanneer de wortel in de noemer een derde macht, vierde of hogere wortel is. Om een noemer met een derdemachtswortel te rationaliseren, moet je een getal zoeken, dat, vermenigvuldigd met het getal onder het wortelteken, een derde machtsgetal oplevert dat kan worden verwijderd. In het algemeen, rationaliseer het aantal
\frac{a}{\sqrt[3]{b}} \text{ door te vermenigvuldigen met } \frac{ \sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{b^2}}
Voorbeeld:
1. Rationaliseren
\frac{5}{\sqrt[3]{5}}
Vermenigvuldig teller en noemer met 3√25.
\frac{5 ×\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{5} ×\sqrt[3]{25}} \\ \,\\ = \frac{5\sqrt[3]{ 25}}{\sqrt[3]{125}} \\ \,\\ = \frac{5\sqrt[3]{25}}{5}
De getallen buiten het wortelteken annuleren, en het antwoord is
\sqrt[3]{25}
Variabelen met twee termen in de noemer
Als een radicaal in de noemer twee termen bevat, kun je het meestal vereenvoudigen door te vermenigvuldigen met zijn geconjugeerde. De vervoeging bevat dezelfde twee termen, maar u keert het teken ertussen om. Bijvoorbeeld de vervoeging van
x + y \tekst{ is } x - y
Als je deze met elkaar vermenigvuldigt, krijg je
x^2 - y^2
Voorbeeld:
1. Rationaliseer de noemer van
\frac{4}{x + \sqrt{3}}
Oplossing: Vermenigvuldig boven en onder met x − √3
\frac{4(x - \sqrt{3})}{(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3} )}
Makkelijker maken:
\frac{4x - 4\sqrt{3}}{x^2 - 3}