Wanneer een brief zoals een, b, X of ja verschijnt in een wiskundige uitdrukking, het wordt een variabele genoemd, maar in werkelijkheid is het een tijdelijke aanduiding die een aantal onbekende waarden vertegenwoordigt. U kunt dezelfde wiskundige bewerkingen uitvoeren op een variabele die u zou uitvoeren op een bekend getal. Dat feit is handig als de variabele in een breuk verschijnt, waarbij je hulpmiddelen nodig hebt zoals vermenigvuldigen, delen en annuleren van veelvoorkomende factoren om de breuk te vereenvoudigen.
Combineer gelijke termen in zowel de teller als de noemer van de breuk. Wanneer u voor het eerst met breuken met variabele begint te werken, kan dit voor u worden gedaan. Maar later kunt u "rommeligere" breuken tegenkomen, zoals de volgende:
(een + een) / (2_a_ - een)
Wanneer je soortgelijke termen combineert, krijg je een veel beschaafdere fractie:
2_a_/een
Factor de variabele uit zowel de teller als de noemer van de breuk als je kunt. Als de variabele op beide plaatsen een factor is, kun je deze annuleren. Beschouw de zojuist gegeven vereenvoudigde breuk:
2_a_/een
Even terzijde, elke keer dat je een variabele op zichzelf ziet, wordt aangenomen dat deze een coëfficiënt van 1 heeft. Dit kan dus ook worden geschreven als:
2_a_/1_a_
Wat het duidelijker maakt dat wanneer je de gemeenschappelijke factor annuleert een van zowel de teller als de noemer van de breuk, blijft het volgende over:
2/1
Wat op zijn beurt weer vereenvoudigt tot het hele getal 2.
Wat als je een breuk als 3_a_/2 hebt? Je kunt geen factor een uit zowel de teller als de noemer van de breuk, maar omdat het in de teller staat, kun je het als een geheel getal behandelen. Om dit te begrijpen, schrijft u eerst de breuk als volgt uit:
3_a_/2(1)
U kunt de 1 in de noemer invoegen dankzij de multiplicatieve identiteitseigenschap, die stelt dat wanneer u een willekeurig getal met 1 vermenigvuldigt, het resultaat het oorspronkelijke getal is waarmee u bent begonnen. Dus je hebt de waarde van de breuk helemaal niet veranderd; je hebt het alleen een beetje anders geschreven.
Scheid vervolgens de factoren als volgt:
een/1 × 3/2
en vereenvoudigen een/1 naar een. Dit geeft je:
een × 3/2
Dat kan eenvoudig worden geschreven als het gemengde getal:
een (3/2)
Wat als je eindigt met een rommelige breuk zoals de volgende?
(b2 - 9) / (b + 3)
Op het eerste gezicht is er geen gemakkelijke manier om factoren te bepalen b uit zowel teller als noemer. Ja, b is op beide plaatsen aanwezig, maar je zou het moeten uitsluiten de hele termijn op beide plaatsen, wat je nog rommeliger zou maken b(b - 9/b) in de teller en b(1 + 3/b) in de noemer. Dat is een doodlopende weg.
Maar als je in je andere lessen goed hebt opgelet, is het je misschien opgevallen dat de teller eigenlijk kan worden herschreven als (b2 - 32), ook wel 'het verschil van kwadraten' genoemd, omdat je een gekwadrateerd getal aftrekt van een ander gekwadrateerd getal. En er is een speciale formule die je kunt onthouden om het verschil van vierkanten te ontbinden. Met behulp van die formule kunt u de teller als volgt herschrijven:
(b - 3)(b + 3)
Kijk daar eens naar in de context van de hele breuk:
(b - 3)(b + 3) / (b + 3)
Dankzij die standaardformule die je hebt onthouden of hebt opgezocht, heb je nu dezelfde factor (b + 3) in zowel de teller als de noemer van je breuk. Zodra u die factor annuleert, houdt u de volgende breuk over:
(b - 3) / 1
Wat vereenvoudigt tot gewoon:
(b - 3)
Tips
-
De standaardformule voor het verschil van kwadraten is:
(X2 - ja2) = (X - ja)(X + ja)