Uw begrip van de belangrijkste bewerkingen in wiskunde ondersteunt uw begrip van het hele onderwerp. Als je jonge studenten lesgeeft of gewoon wat elementaire wiskunde opnieuw aan het leren bent, kan het erg nuttig zijn om de basisprincipes door te nemen. De meeste berekeningen die je moet doen, hebben op de een of andere manier betrekking op vermenigvuldiging, en de definitie van "herhaalde optelling" helpt echt om te bevestigen wat iets vermenigvuldigen in je hoofd betekent. Je kunt het proces ook in termen van gebieden meedenken. De vermenigvuldigingseigenschap van gelijkheid vormt ook een kernonderdeel van algebra, dus het kan nuttig zijn om ook op hogere niveaus door te nemen. Vermenigvuldiging beschrijft eigenlijk alleen maar het berekenen van hoeveel je uiteindelijk krijgt, je hebt een bepaald aantal "groepen" van een bepaald nummer. Als u 5 × 3 zegt, zegt u: "Wat is het totale bedrag in vijf groepen van drie?"
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Vermenigvuldiging beschrijft het proces van het herhaaldelijk optellen van een getal bij zichzelf. Als je 5 × 3 hebt, is dit een andere manier om "vijf groepen van drie" of gelijkwaardig "drie groepen van vijf" te zeggen. Dit betekent dus:
5 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 + 5 + 5 = 15
De vermenigvuldigingseigenschap van gelijkheid stelt dat het vermenigvuldigen van beide zijden van een vergelijking met hetzelfde getal een andere geldige vergelijking oplevert.
Vermenigvuldiging als herhaalde optelling
Vermenigvuldiging beschrijft fundamenteel het proces van herhaalde optelling. Het ene getal kan worden beschouwd als de grootte van de 'groep' en het andere geeft aan hoeveel groepen er zijn. Als er vijf groepen van drie studenten zijn, kun je het totale aantal studenten vinden met behulp van:
\text{Totaal aantal} = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
Je zou het zo uitwerken als je de studenten gewoon met de hand zou tellen. Vermenigvuldiging is eigenlijk slechts een verkorte manier om dit proces uit te schrijven:
Zo:
\text{Totaal aantal} = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 × 3 = 15
Leraren die het concept uitleggen aan leerlingen van de derde graad of basisschool, kunnen deze benadering gebruiken om de betekenis van het concept te verstevigen. Het maakt natuurlijk niet uit welk nummer je de "groepsgrootte" noemt en welke je het "aantal groepen" noemt, want het resultaat is hetzelfde. Bijvoorbeeld:
5 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 35
Vermenigvuldiging en de gebieden van vormen
Vermenigvuldiging vormt de kern van de definities voor de gebieden van vormen. Een rechthoek heeft een kortere zijde en een langere zijde, en het gebied is de totale hoeveelheid ruimte die het in beslag neemt. Het heeft lengte-eenheden2, bijvoorbeeld inch2, centimeter2, meter2 of voet2. Het maakt niet uit wat de eenheid is, het proces is hetzelfde. 1 oppervlakte-eenheid beschrijft een vierkantje met zijden van 1 lengte-eenheid.
Voor de rechthoek neemt de korte zijde een bepaalde hoeveelheid ruimte in beslag, zeg 10 centimeter. Deze 10 centimeter herhaalt zich keer op keer terwijl je langs de lange zijde van de rechthoek naar beneden gaat. Als de langere zijde 20 centimeter meet, is de oppervlakte:
\begin{uitgelijnd} \text{Gebied} &= \text{breedte} × \text{lengte}\\ &= 10 \text{ cm} × 20 \text{ cm} = 200 \text{ cm}^2 \ einde{uitgelijnd}
Voor een vierkant werkt dezelfde berekening, behalve dat de breedte en de lengte echt hetzelfde getal zijn. Door de lengte van een zijde met zichzelf te vermenigvuldigen ("kwadrateren") krijg je de oppervlakte.
Voor andere vormen wordt het iets ingewikkelder, maar ze hebben altijd op de een of andere manier hetzelfde sleutelconcept.
De vermenigvuldigingseigenschap van gelijkheid en vergelijkingen
De vermenigvuldigingseigenschap van gelijkheid stelt dat als je beide zijden van een vergelijking met dezelfde hoeveelheid vermenigvuldigt, de vergelijking nog steeds geldt. Dit betekent dus als:
a = b
Dan
ac = bc
Dit kan worden gebruikt om algebraproblemen op te lossen. Beschouw de vergelijking:
\frac{x}{c} = \frac{12}{c}
Dit zou onmogelijk op te lossen zijnXdirect omdat je het niet weetcofwel, maar met behulp van de vermenigvuldigingseigenschap van gelijkheid, kun je beide zijden vermenigvuldigen metcen schrijf:
\frac{xc}{c} = \frac{12c}{c}
Zo
x = 12
Het herschikken van vergelijkingen werkt op een vergelijkbare manier. Stel je voor dat je de vergelijking hebt:
\frac{x}{bc} = d
Maar wil een uitdrukking voorXalleen. Beide zijden vermenigvuldigen metbcbereikt dit:
\frac{xbc}{bc} = dbc \\ x=dbc
U kunt het ook gebruiken om problemen op te lossen waarbij u één hoeveelheid moet verwijderen:
\frac{x}{3} = 9
Vermenigvuldig beide zijden met drie om te krijgen:
\frac{3x}{3} = 9×3 \\ x=27