Vereenvoudig vergelijkingen van reeksen getallen, vooral grote reeksen getallen, door de middenwaarden te berekenen met behulp van gemiddelde, modus en mediaan. Gebruik de bereiken en standaarddeviaties van de sets om de variabiliteit van gegevens te onderzoeken.
Het gemiddelde identificeert de gemiddelde waarde van de reeks getallen. Beschouw bijvoorbeeld de dataset met de waarden 20, 24, 25, 36, 25, 22, 23.
Gebruik de formule om het gemiddelde te vinden: Gemiddelde is gelijk aan de som van de getallen in de dataset gedeeld door het aantal waarden in de dataset. In wiskundige termen:
\text{Gemiddelde}=\frac{\text{som van alle termen}}{\text{hoeveel termen of waarden in de set}}
De mediaan identificeert het middelpunt of de middelste waarde van een reeks getallen.
Zet de getallen op volgorde van klein naar groot. Gebruik de voorbeeldset met waarden: 20, 24, 25, 36, 25, 22, 23. In volgorde geplaatst, wordt de set: 20, 22, 23, 24, 25, 25, 36.
Als de reeks getallen een even aantal waarden heeft, bereken dan het gemiddelde van de twee middelste waarden. Stel bijvoorbeeld dat de reeks getallen de waarden 22, 23, 25, 26 bevat. Het midden ligt tussen de 23 en 25. 23 en 25 optellen levert 48 op. 48 delen door twee geeft een mediaanwaarde van 24.
De modus identificeert de meest voorkomende waarde of waarden in de dataset. Afhankelijk van de gegevens kunnen er een of meer modi zijn, of helemaal geen modus.
Net als het vinden van de mediaan, rangschikt u de gegevensset van klein naar groot. In de voorbeeldset worden de geordende waarden: 20, 22, 23, 24, 25, 25, 36.
Een modus treedt op wanneer waarden worden herhaald. In de voorbeeldset komt de waarde 25 twee keer voor. Geen andere nummers herhalen. Daarom is de modus de waarde 25.
In sommige datasets komt meer dan één modus voor. De dataset 22, 23, 23, 24, 27, 27, 29 bevat twee modi, één op 23 en 27. Andere datasets kunnen meer dan twee modi hebben, kunnen modi hebben met meer dan twee nummers (zoals 23, 23, 24, 24, 24, 28, 29: modus is gelijk aan 24) of heeft mogelijk helemaal geen modi (zoals 21, 23, 24, 25, 26, 27, 29). De modus kan overal in de dataset voorkomen, niet alleen in het midden.
Bereik toont de wiskundige afstand tussen de laagste en hoogste waarden in de dataset. Bereik meet de variabiliteit van de dataset. Een groot bereik duidt op een grotere variabiliteit in de gegevens, of misschien een enkele uitbijter ver van de rest van de gegevens. Uitschieters kunnen de gemiddelde waarde voldoende scheeftrekken of verschuiven om de gegevensanalyse te beïnvloeden.
In de voorbeeldset overschrijdt de hoge gegevenswaarde van 36 de vorige waarde, 25, met 11. Deze waarde lijkt extreem, gezien de andere waarden in de set. De waarde van 36 is mogelijk een uitschietergegevenspunt.
Standaarddeviatie meet de variabiliteit van de dataset. Net als bereik, duidt een kleinere standaarddeviatie op minder variabiliteit.
Het vinden van de standaarddeviatie vereist het optellen van het kwadraatverschil tussen elk gegevenspunt en het gemiddelde [∑(X − µ)2], alle vierkanten optellen en die som delen door één minder dan het aantal waarden (nee− 1), en tenslotte de vierkantswortel van het deeltal te berekenen. In één formule is dit:
Bereken het gemiddelde door alle gegevenspuntwaarden bij elkaar op te tellen en vervolgens te delen door het aantal gegevenspunten. In de voorbeelddataset,
Deel de som, 175, door het aantal gegevenspunten, 7, of
Trek vervolgens het gemiddelde van elk gegevenspunt af en kwadra elk verschil. De formule ziet er als volgt uit:
waarbij ∑ som betekent,Xik vertegenwoordigt elke datasetwaarde enµgeeft de gemiddelde waarde weer. Als we doorgaan met de voorbeeldset, worden de waarden:
20-25=-5 \text{ en } -5^2=25 \\ 24-25=-1 \text{ en } -1^2=1 \\ 25-25=0 \text{ en } 0^ 2=0 \\ 36-25=11 \text{ en } 11^2=121 \\ 25-25=0 \text{ en } 0^2=0 \\ 22-25=-3 \text{ en } -3^2=9 \\ 23- 25=-2 \tekst{ en } -2^2=4
Deel de som van de gekwadrateerde verschillen door één minder dan het aantal gegevenspunten. De voorbeelddataset heeft 7 waarden, dusnee− 1 is gelijk aan 7 − 1 = 6. De som van de gekwadrateerde verschillen, 160, gedeeld door 6 is gelijk aan ongeveer 26,6667.
Bereken de standaarddeviatie door de vierkantswortel te vinden van de deling doornee− 1. In het voorbeeld is de vierkantswortel van 26,6667 gelijk aan ongeveer 5,164. Daarom is de standaarddeviatie gelijk aan ongeveer 5,164.
Standaarddeviatie helpt bij het evalueren van gegevens. Getallen in de dataset die binnen één standaarddeviatie van het gemiddelde vallen, maken deel uit van de dataset. Getallen die buiten twee standaarddeviaties vallen, zijn extreme waarden of uitbijters. In de voorbeeldset ligt de waarde 36 meer dan twee standaarddeviaties van het gemiddelde, dus 36 is een uitbijter. Uitbijters kunnen onjuiste gegevens vertegenwoordigen of onvoorziene omstandigheden suggereren en moeten zorgvuldig worden overwogen bij het interpreteren van gegevens.