Algebra omvat vaak het vereenvoudigen van uitdrukkingen, maar sommige uitdrukkingen zijn verwarrender om mee om te gaan dan andere. Complexe getallen hebben betrekking op de hoeveelheid die bekend staat alsik, een "denkbeeldig" nummer met de eigenschapik= √−1. Als je gewoon een uitdrukking moet gebruiken met een complex getal, lijkt het misschien ontmoedigend, maar het is een vrij eenvoudig proces als je eenmaal de basisregels hebt geleerd.
TL; DR (te lang; niet gelezen)
Vereenvoudig complexe getallen door de regels van de algebra te volgen met complexe getallen.
Wat is een complex getal?
Complexe getallen worden gedefinieerd door hun opname van deikterm, wat de vierkantswortel is van min één. In de wiskunde op het basisniveau bestaan vierkantswortels van negatieve getallen niet echt, maar ze komen af en toe voor in algebraproblemen. De algemene vorm voor een complex getal toont hun structuur:
z = a + bi
Waarzlabelt het complexe getal,eenstaat voor een willekeurig getal (het "echte" deel genoemd), en
bstaat voor een ander getal (het "denkbeeldige" deel genoemd), die beide positief of negatief kunnen zijn. Een voorbeeld van een complex getal is dus:z = 2 −4i
Omdat alle vierkantswortels van negatieve getallen kunnen worden weergegeven door veelvouden vanik, dit is de vorm voor alle complexe getallen. Technisch gezien beschrijft een gewoon getal alleen een speciaal geval van een complex getal waarbij:b= 0, dus alle getallen kunnen als complex worden beschouwd.
Basisregels voor algebra met complexe getallen
Om complexe getallen op te tellen en af te trekken, voegt u eenvoudig de reële en imaginaire delen afzonderlijk toe of trekt u ze af. Dus voor complexe getallenz = 2 – 4ikenmet wie = 3 + 5ik, de som is:
\begin{uitgelijnd} z + w &= (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ &=(2 + 3) + (-4 + 5)i \\ &= 5 + 1i \\ &= 5 + ik \end{uitgelijnd}
Het aftrekken van de getallen werkt op dezelfde manier:
\begin{uitgelijnd} z- w &= (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ &= (2 - 3) + (-4 - 5)i \\ &= -1 -9i \end{uitgelijnd }
Vermenigvuldigen is een andere eenvoudige bewerking met complexe getallen, omdat het werkt als gewone vermenigvuldiging, behalve dat je dat moet onthoudenik2 = −1. Dus om 3. te berekenenik × −4ik:
3i × -4i = -12i^2
Maar sindsik2= −1, dan:
-12i^2 = -12 ×-1 = 12
Met volledige complexe getallen (metz = 2 – 4ikenmet wie = 3 + 5iknogmaals), vermenigvuldig je ze op dezelfde manier als met gewone getallen zoals (een + b) (c + d), met behulp van de "eerste, binnenste, buitenste, laatste" (FOIL) -methode, om (een + b) (c + d) = ac + bc + advertentie + bd. Het enige dat u hoeft te onthouden, is om alle gevallen van te vereenvoudigenik2. Dus bijvoorbeeld:
\begin{uitgelijnd} z × w &= (2 -4i)(3 + 5i) \\ &= (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ &= 6 -12i + 10i - 20i^2 \\ &= 6 -2i + 20 \\ &= 26 + 2i \end{uitgelijnd}
Complexe getallen delen
Het delen van complexe getallen omvat het vermenigvuldigen van de teller en noemer van de breuk met de complexe conjugaat van de noemer. De complexe conjugaat betekent gewoon de versie van het complexe getal met het imaginaire deel omgekeerd in teken. Dus voorz = 2 – 4ik, de complexe conjugaatz = 2 + 4ik, en voormet wie = 3 + 5ik, met wie = 3 −5ik. Voor het probleem:
\frac{z}{w} = \frac{2 -4i}{3 + 5i}
Het benodigde conjugaat ismet wie*. Deel de teller en de noemer hierdoor en je krijgt:
\frac{z}{w} = \frac{(2 -4i)(3 -5i)}{(3 + 5i)(3-5i)}
En dan werk je door zoals in de vorige sectie. De teller geeft:
\begin{uitgelijnd} (2 -4i) (3 -5i) &= 6 -12i- 10i + 20i^2 \\ &= -14-22i \end{uitgelijnd}
En de noemer geeft:
\begin{uitgelijnd} (3 + 5i)(3-5i) &= 9 + 15i - 15i -25i^2 \\ &= 9 + 25 \\ &= 34 \end{uitgelijnd}
Dit betekent:
\begin{uitgelijnd} \frac{z}{w} &= \frac{-14 - 22i}{34} \\ \,\\ &= \frac{-14}{34} - \frac{22i}{ 34} \\ \,\\ &= \frac{-7}{17} -\frac{11i}{17} \end{aligned}
Complexe getallen vereenvoudigen
Gebruik de bovenstaande regels indien nodig om complexe uitdrukkingen te vereenvoudigen. Bijvoorbeeld:
z = \frac{(4 + 2i) + (2 -i)}{(2 + 2i)(2+ i)}
Dit kan worden vereenvoudigd door de optelregel in de teller te gebruiken, de vermenigvuldigingsregel in de noemer en vervolgens de deling te voltooien. Voor de teller:
(4 + 2i) + (2 - ik) = 6 + i
Voor de noemer:
\begin{uitgelijnd} (2 + 2i)(2+ i) &= 4 + 4i + 2i + 2i^2 \\ &= (4 -2) + 6i \\ &= 2 + 6i \end{uitgelijnd}
Deze terugplaatsen geeft:
z = \frac{6 + i}{2 + 6i}
Vermenigvuldigen van beide delen met de geconjugeerde van de noemer leidt tot:
\begin{uitgelijnd} z &= \frac{(6 + i) (2 - 6i)}{(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \,\\ &= \frac{12 + 2i -36i -6i^2}{4 + 12i -12i -36i^2} \\ \,\\ &= \frac{18 - 34i}{40} \\ \,\\ &= \frac{9 - 17i}{20} \\ \,\\ &= \ frac{9}{20} -\frac{17i}{20} \\ \end{uitgelijnd}
Dus dit betekent:zvereenvoudigt als volgt:
\begin{uitgelijnd} z &= \frac{(4 + 2i) + (2 - i)}{(2 + 2i)(2+ i)} \\ &= \frac{9}{20} -\frac {17i}{20} \\ \end{uitgelijnd}