Het berekenen van een steekproefverhouding in kansstatistieken is eenvoudig. Zo'n berekening is niet alleen een handig hulpmiddel op zich, maar het is ook een handige manier om te illustreren hoe steekproefomvang in normale verdelingen de standaarddeviaties van die steekproeven beïnvloedt.
Stel dat een honkbalspeler .300 slaat over een carrière die vele duizenden slagbeurten omvat, wat betekent dat de kans dat hij een honkslag elke keer dat hij geconfronteerd wordt met een werper is 0,3. Hieruit is het mogelijk om te bepalen hoe dicht bij .300 hij zal raken in een kleiner aantal platen verschijningen.
Definities en parameters
Voor deze problemen is het belangrijk dat de steekproefomvang voldoende groot is om zinvolle resultaten te produceren. Het product van de steekproefomvang: nee en de waarschijnlijkheid p van de gebeurtenis in kwestie moet groter zijn dan of gelijk zijn aan 10, en op dezelfde manier moet het product van de steekproefomvang en een minpuntje de kans dat de gebeurtenis zich voordoet moet ook groter dan of gelijk zijn aan 10. In wiskundige taal betekent dit dat:
np ≥ 10
en
n (1 - p) ≥ 10
De steekproefverhoudingp̂ is gewoon het aantal waargenomen gebeurtenissen X gedeeld door de steekproefomvang nee, of
p̂ = \frac{x}{n}
Gemiddelde en standaarddeviatie van de variabele
De gemeen van X is eenvoudig np, het aantal elementen in de steekproef vermenigvuldigd met de kans dat de gebeurtenis plaatsvindt. De standaardafwijking van X is:
\sqrt{np (1 - p)}
Terugkerend naar het voorbeeld van de honkbalspeler, neem aan dat hij 100 slagbeurten heeft in zijn eerste 25 wedstrijden. Wat zijn het gemiddelde en de standaarddeviatie van het aantal hits dat hij naar verwachting zal krijgen?
np = 100 × 0,3 = 30
en
\begin{uitgelijnd} \sqrt{np (1 - p)} &= \sqrt{100×0,3×0,7} \\ &= 10 \sqrt{0.21} \\ &= 4,58 \end{uitgelijnd}
Dit betekent dat de speler die slechts 25 hits krijgt in zijn 100 slagbeurten of maar liefst 35 niet als statistisch abnormaal wordt beschouwd.
Gemiddelde en standaarddeviatie van de steekproefverhouding
De gemeen van elke steekproefverhouding p̂ is gewoon p. De standaardafwijking van p̂ is:
\frac{\sqrt{p (1 - p)}}{\sqrt{n}}
Voor de honkbalspeler, met 100 pogingen op de plaat, is het gemiddelde gewoon 0,3 en is de standaarddeviatie:
\begin{uitgelijnd} \frac{\sqrt{0.3 × 0.7}}{\sqrt{100}} &= \frac{\sqrt{0.21}}{10} \\ &= 0.0458 \end{uitgelijnd}
Merk op dat de standaarddeviatie van p̂ is veel kleiner dan de standaarddeviatie van X.