Met de Super Bowl om de hoek, hebben atleten en fans van de wereld hun focus stevig op het grote spel gericht. Maar voor _math_letes kan het grote spel een klein probleem oproepen met betrekking tot de mogelijke scores in een voetbalwedstrijd. Met slechts beperkte opties voor het aantal punten dat je kunt scoren, zijn sommige totalen gewoon niet te bereiken, maar wat is het hoogste? Als je wilt weten wat munten, voetbal en McDonald's-kipnuggets met elkaar verbindt, is dit een probleem voor jou.
Het wiskundeprobleem van de Super Bowl
Het probleem heeft betrekking op de mogelijke scores die de Los Angeles Rams of de New England Patriots mogelijk kunnen behalen op zondag zonder een veiligheid of een tweepuntsconversie. Met andere woorden, de toegestane manieren om hun scores te verhogen zijn 3-punts velddoelpunten en 7-punts touchdowns. Dus zonder beveiligingen kun je geen score van 2 punten behalen in een spel met een combinatie van 3s en 7s. Evenzo kun je geen score van 4 behalen, noch kun je een score van 5 behalen.
De vraag is: Wat is de hoogste score die? kan niet worden bereikt met slechts 3-punts velddoelpunten en 7-punts touchdowns?
Natuurlijk zijn touchdowns zonder conversie 6 waard, maar aangezien je dat toch met twee velddoelpunten kunt bereiken, maakt het niet uit voor het probleem. Omdat we hier met wiskunde te maken hebben, hoef je je ook geen zorgen te maken over de tactieken van het specifieke team of zelfs maar over eventuele limieten op hun vermogen om punten te scoren.
Probeer dit zelf op te lossen voordat je verder gaat!
Een oplossing vinden (de langzame manier)
Dit probleem heeft een aantal complexe wiskundige oplossingen (zie bronnen voor volledige details, maar het belangrijkste resultaat zal hieronder worden geïntroduceerd), maar het is een goed voorbeeld van hoe dit niet is nodig zijn om het antwoord te vinden.
Het enige dat u hoeft te doen om een brute-force-oplossing te vinden, is door simpelweg elke partituur om de beurt te proberen. Dus we weten dat je geen 1 of 2 kunt scoren, omdat ze minder dan 3 zijn. We hebben al vastgesteld dat 4 en 5 niet mogelijk zijn, maar 6 wel, met twee velddoelpunten. Kun je na 7 (wat mogelijk is), een 8 scoren? Nee. Drie velddoelpunten levert 9, en een velddoelpunt en een geconverteerde touchdown maakt 10. Maar je kunt geen 11 krijgen.
Vanaf dit punt toont een beetje werk aan dat:
\begin{uitgelijnd} 3 × 4 &= 12\\ 7 + (3 × 2) &= 13 \\ 7 × 2 &= 14\\ 3 × 5 &= 15\\ 7 + (3 × 3) &= 16\\ (7 × 2) + 3 &= 17 \end{uitgelijnd}
En eigenlijk kun je zo doorgaan zolang je wilt. Het antwoord lijkt 11 te zijn. Maar is het?
De algebraïsche oplossing
Wiskundigen noemen deze problemen 'Frobenius-muntproblemen'. De oorspronkelijke vorm had betrekking op munten, zoals: Als u alleen munten had laten taxeren 4 cent en 11 cent (geen echte munten, maar nogmaals, dat zijn rekenproblemen voor jou), wat is het grootste bedrag dat je niet zou kunnen produceren.
De oplossing, in termen van algebra, is dat met één score de moeite waard is p punten en één score waard q punten, de hoogste score die je niet kunt halen (nee) is gegeven door:
N = pq \; – \;(p + q)
Dus het aansluiten van de waarden van het Super Bowl-probleem geeft:
\begin{uitgelijnd} N &= 3 × 7\; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10\\ &= 11 \end{uitgelijnd}
Dat is het antwoord dat we op de langzame manier hebben gekregen. Dus wat als je alleen touchdowns zou kunnen scoren zonder conversie (6 punten) en touchdowns met één punt conversies (7 punten)? Kijk of je de formule kunt gebruiken om het uit te werken voordat je verder leest.
In dit geval wordt de formule:
\begin{uitgelijnd} N &= 6 × 7\; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13\\ &= 29 \end{uitgelijnd}
Het Chicken McNugget-probleem
Dus het spel is afgelopen en je wilt het winnende team belonen met een reis naar McDonald's. Maar ze verkopen McNuggets alleen in dozen van 9 of 20. Dus wat is het hoogste aantal nuggets dat jij hebt? kan niet kopen met deze (verouderde) boxnummers? Probeer de formule te gebruiken om het antwoord te vinden voordat u verder leest.
Sinds
N = pq \; – \;(p + q)
En met p = 9 en q = 20:
\begin{uitgelijnd} N &= 9 × 20\; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29\\ &= 151 \end{uitgelijnd}
Dus op voorwaarde dat je meer dan 151 nuggets kocht - het winnende team zal waarschijnlijk behoorlijk hongerig zijn - zou je een willekeurig aantal goudklompjes kunnen kopen met een of andere combinatie van dozen.
Je vraagt je misschien af waarom we alleen versies met twee nummers van dit probleem hebben behandeld. Wat als we veiligheidsvoorzieningen zouden inbouwen, of als McDonalds nuggetdozen in drie maten zou verkopen? Er is geen duidelijke formule in dit geval, en hoewel de meeste versies ervan kunnen worden opgelost, zijn sommige aspecten van de vraag volledig onopgelost.
Dus misschien kun je, wanneer je naar de wedstrijd kijkt of hapklare stukjes kip eet, beweren dat je een open probleem in de wiskunde probeert op te lossen - het is het proberen waard om uit je klusjes te komen!