EENvectoris een grootheid die zowel een grootte als een richting heeft. Dit is anders dan eenscalairhoeveelheid, die alleen overeenkomt met een grootte. Snelheid is een voorbeeld van een vectorgrootheid. Het heeft zowel een grootte (hoe snel iets gaat) als een richting (de richting waarin het zich voortplant).
Vectoren worden vaak getekend als pijlen. De lengte van de pijl komt overeen met de grootte van de vector en de punt van de pijl geeft de richting aan.
Er zijn twee manieren om met vectoren optellen en aftrekken te werken. De eerste is grafisch, door de pijldiagrammen van de vectoren zelf te manipuleren. De tweede is wiskundig, wat exacte resultaten geeft.
Grafische vector optellen en aftrekken in één dimensie
Wanneer u twee vectoren optelt, plaatst u de staart van de tweede vector op de punt van de eerste vector terwijl u de vectororiëntatie behoudt. Deresulterende vectoris een vector die begint bij de staart van de eerste vector en in een rechte lijn naar de punt van de tweede vector wijst.
Overweeg bijvoorbeeld om vectoren toe te voegenEENenBdie langs een lijn in dezelfde richting wijzen. We plaatsen ze "tip tot tail" en de resulterende vector,C, wijst in dezelfde richting en heeft een lengte die gelijk is aan de som van de lengtes vanEENenB.
Het aftrekken van vectoren in één dimensie is in wezen hetzelfde als optellen, behalve dat u de tweede vector "omdraait". Dit vloeit rechtstreeks voort uit het feit dat aftrekken hetzelfde is als het optellen van een negatief.
Wiskundige vector optellen en aftrekken in één dimensie
Bij het werken in één dimensie kan de richting van een vector worden aangegeven met een teken. We kiezen één richting als de positieve richting (meestal worden "omhoog" of "rechts" als positief gekozen), en wijzen elke vector die in die richting wijst als een positieve grootheid toe. Elke vector die in de negatieve richting wijst, is een negatieve grootheid. Bij het optellen of aftrekken van vectoren, moet u hun grootheden optellen of aftrekken met de bijbehorende tekens.
Stel dat in de vorige sectie vectorEENhad een magnitude van 3 en vectorBhad een kracht van 5. Dan resulterende vectorC = A + B =8, een vector van magnitude 8 die in de positieve richting wijst, en resulterende vectorD = A - B =-2, een vector van magnitude 2 die in de negatieve richting wijst. Merk op dat dit consistent is met de grafische resultaten van vroeger.
Tip: Zorg ervoor dat u alleen vectoren van hetzelfde type toevoegt: snelheid + snelheid, kracht + kracht enzovoort. Zoals bij alle wiskunde in de natuurkunde, moeten de eenheden overeenkomen!
Grafische vector optellen en aftrekken in twee dimensies
Als de eerste vector en de tweede vector niet langs dezelfde lijn in de cartesiaanse ruimte staan, kunt u dezelfde "tip tot tail"-methode gebruiken om ze op te tellen of af te trekken. Om twee vectoren toe te voegen, stelt u zich eenvoudig voor dat u de tweede optilt en de staart naar de punt van de eerste plaatst terwijl u de oriëntatie behoudt zoals weergegeven. De resulterende vector is een pijl die begint bij de staart van de eerste vector en eindigt bij de punt van de tweede vector:
Net als in één dimensie is het aftrekken van de ene vector van de andere gelijk aan spiegelen en optellen. Grafisch ziet dit er als volgt uit:
•••Dana Chen | Wetenschap
Opmerking: Soms wordt vectoroptelling grafisch weergegeven door de staarten van de twee optellingsvectoren bij elkaar te plaatsen en een parallellogram te maken. De resulterende vector is dan de diagonaal van dit parallellogram.
Wiskundige vector optellen en aftrekken in twee dimensies
Volg deze stappen om vectoren in twee dimensies wiskundig op te tellen en af te trekken:
Ontleed elke vector in anX-component, ook wel de horizontale component genoemd, en aja-component, ook wel de verticale component genoemd, met behulp van trigonometrie. (Merk op dat componenten negatief of positief kunnen zijn, afhankelijk van de richting waarin de vector wijst)
Voeg de. toeX-componenten van beide vectoren samen, en tel dan de. opja-componenten van beide vectoren samen. Dit resultaat geeft u deXenjacomponenten van de resulterende vector.
De grootte van de resulterende vector kan worden gevonden met behulp van de stelling van Pythagoras.
De richting van de resulterende vector kan worden gevonden via trigonometrie met behulp van de inverse tangensfunctie. Deze richting wordt meestal gegeven als een hoek ten opzichte van de positieveX-as.
Trigonometrie in vectortoevoeging
Denk aan de relaties tussen de zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek uit trigonometrie.
\sin(\theta)=\frac{b}{c}\\\text{ }\\ \cos(\theta)=\frac{a}{c} \\\text{ }\\ \tan(\ theta)=\frac{b}{a}
De stelling van Pythagoras:
c^2=a^2+b^2
Projectielbeweging biedt klassieke voorbeelden van hoe we deze relaties kunnen gebruiken om zowel een vector te ontbinden als de uiteindelijke grootte en richting van een vector te bepalen.
Overweeg twee mensen die catch spelen. Stel, je krijgt te horen dat de bal vanaf een hoogte van 1,3 m wordt gegooid met een snelheid van 16 m/s onder een hoek van 50 graden met de horizontaal. Om dit probleem te analyseren, moet je deze beginsnelheidsvector ontleden inXenjacomponenten zoals afgebeeld:
v_{xi}=v_i\cos(\theta)=16\times\cos (50)=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yi}=v_i\sin(\theta)=16\times\sin (50)=12.3\tekst{ m/s}
Als de vanger de bal mist en de grond raakt, met welke eindsnelheid zal hij dan toeslaan?
Met behulp van kinematische vergelijkingen kunnen we bepalen dat de uiteindelijke componenten van de snelheid van de bal zijn:
v_{xf}=10.3 \text{ m/s}\\ v_{yf}=-13.3\text{ m/s}
De stelling van Pythagoras stelt ons in staat om de grootte te vinden:
v_{f}=\sqrt{(10.3)^2+ (-13.3)^2}=16.8\text{ m/s}
En trigonometrie stelt ons in staat om de hoek te bepalen:
\theta=\tan^{-1}\Groot(\frac{-13.3}{10.3}\Big)=-52.2\graad
Voorbeeld van vector optellen en aftrekken
Denk aan een auto die de hoek omgaat. Veronderstellenvikwant de auto staat in deX-richting met magnitude 10 m/s, envfstaat onder een hoek van 45 graden met de positieveX-as met magnitude 10 m/s. Als deze bewegingsverandering in 3 seconden plaatsvindt, wat is dan de grootte en richting van de versnelling van de auto tijdens het draaien?
Denk aan die versnellingeenis een vectorgrootheid gedefinieerd als:
a=\frac{(v_f-v_i)}{t}
Waarvfenvikzijn respectievelijk eind- en beginsnelheden (en zijn dus ook vectorgrootheden).
Om het vectorverschil te berekenenvf - vik,we moeten eerst de begin- en eindsnelheidsvectoren ontleden:
v_{xi}=10\text{ m/s}\\ v_{yi}=0\text{ m/s}\\ v_{xf}=10\cos (45)=7.07\text{ m/s} \\ v_{yf}=10\sin (45)=7.07\text{ m/s}
Dan trekken we de finale afXenjacomponenten van de eersteXenjacomponenten om componenten van te krijgenvf - vik:
Dan trekken we de afXenjacomponenten:
(v_f-v_i) _x=v_{xf}-v_{xi}=7.07-10=-2.93\text{ m/s}\\ (v_f-v_i) _y=v_{yf}-v_{yi}=7.07 -0=7.07\tekst{ m/s}
Deel vervolgens elk door de tijd om de componenten van de versnellingsvector te krijgen:
a_x=\frac{-2.93}{3}=-0.977\text{ m/s}^2\\\text{ }\\ a_y=\frac{7.07}{3}=2.36\text{ m/s} ^2
Gebruik de stelling van Pythagoras om de grootte van de versnellingsvector te vinden:
a=\sqrt{(-0.977)^2+(2.36)^2}=2.55\text{ m/s}^2
Gebruik ten slotte trigonometrie om de richting van de versnellingsvector te vinden:
\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{2.36}{-0.977}\Big)=113\graden