Hoekmomentum: definitie, vergelijking, eenheden (met diagrammen en voorbeelden)

Overweeg het tafereel: jij en een vriend staan, vanwege problemen waar je geen controle over hebt, bovenaan een lange, naar beneden hellende helling. Ieder van jullie heeft een bal gekregen met een straal van precies 1 m. Er is u verteld dat die van u is gemaakt van een uniform, schuimachtig materiaal en een massa heeft van 5 kg. De bal van je vriend heeft ook een massa van 5 kg, die je verifieert met een handige weegschaal.

Je vriend wil wedden dat als je de twee ballen tegelijkertijd loslaat, de jouwe als eerste de bodem bereikt. Je komt in de verleiding om te beweren dat, aangezien de ballen dezelfde massa en dezelfde straal (en dus volume) hebben, ze tijdens de afdaling door de zwaartekracht langs de helling zullen worden versneld tot dezelfde snelheid. Maar iets stopt uw ​​weddenschap "momentum", en u neemt de weddenschap niet aan...

...verstandig, zo blijkt. Hoewel het in het begin geen zin heeft, beweegt de bal van je vriend, die naar het lijkt een tweeling van jezelf, langzamer de helling af dan die van jou. Nadat het experiment voorbij is, eis je dat de ballen worden gedemonteerd en onderzocht op tekenen van bedrog. In plaats daarvan vind je alleen dat de 5 kg massa in de bal van je vriend beperkt was tot een dunne schil rond de buitenkant, met de binnenkant hol.

Hoe zit het met de hierboven beschreven configuratie kantelt de waarde van v in het voordeel van je bal? Zoals gebeurt, net alskrachtenverander delineair momentumvan objecten metlineaire snelheid​, ​koppelsverander deimpulsmomentvan objecten methoeksnelheid​.

Een star rollend object heeft zowel lineair momentum als impulsmoment, omdat het zwaartepunt beweegt met een constante snelheid v (gelijk aan de tangentiële snelheid van de bal of het wiel), elk ander deel van het object roteert rond dat massamiddelpunt met hoeksnelheid ω.

Hoe massa binnen een object wordt verdeeld, heeft geen invloed op het lineaire momentum, maar bepaalt het impulsmoment op voortreffelijke wijze. Het doet dit door middel van een "massa-achtige" (voor rotatiedoeleinden) grootheid die het traagheidsmoment wordt genoemd, hogere waarden van wat zowel meer moeite betekent om iets te laten draaien als meer moeite om het te stoppen als het al is roteren.

Impulsmoment is een maat voor hoe moeilijk het is om de rotatiebeweging van een object te veranderen. Het hangt af van het traagheidsmoment van het object en de hoeksnelheid. Impulsmoment is een behouden grootheid, wat betekent dat de som van de impulsmomenten van de deeltjes in een gesloten systeem altijd hetzelfde is, zelfs als die van individuele deeltjes kan fluctueren.

Het impulsmoment is, zoals opgemerkt, ook een functie van de verdeling van de massa om een ​​as. Om hier een intuïtief idee van te krijgen, stel je voor dat je op 30 cm van het midden van een enorme draaimolen staat die elke 10 seconden één omwenteling maakt. Stel je nu voor dat je op hetzelfde apparaat zit met dezelfde hoeksnelheid terwijl je 1. staatmijlvanuit het centrum. Er is niet veel verbeeldingskracht voor nodig om het verschil in impulsmoment in deze twee scenario's te begrijpen.

​Het impulsmoment is het product van het traagheidsmoment maal de hoeksnelheid, of:
​

waarL= impulsmoment in kg∙m²/s,ik= traagheidsmoment in kg∙m², en ω = hoeksnelheid in radialen per seconde (rad/s).

• ​ikwordt ook wel het tweede gebiedsmoment genoemd.

Merk op dat de discussie is verbreed van een puntmassa tot een vast lichaam, zoals een cilinder of bol, die om een ​​as draait. Het zwaartepunt van een object is vaak niet op zijngeometrischcentrum, dus waarden vanikhangt af van hoe de massa van het object is verdeeld. Vaak is dit symmetrisch maar niet uniform, zoals een holle schijf met al zijn massa in een dunne strook aan de buitenkant (ofwel een ring).

De vector van het impulsmoment wijst langs de rotatie-as, loodrecht op het vlak gevormd doorr, de cirkelvormige "sweep" van elk punt in het object door de ruimte.

Een referentiegrafiek voor de waarde vanikvoor verschillende veelvoorkomende vormen is te vinden in de bronnen. Gebruik deze om aan de slag te gaan met een paar basisimpulsmomentproblemen.

• Let daar opikvoor een bolvormige schaal is (2/3)mr² terwijl die van een bol (2/5)mr. is². Terugkomend op de inzet in de inleiding, kun je nu zien dat de bal van je vriend (2/3)/(2/5) = 1,67 keer het traagheidsmoment heeft als die van jou, wat verklaart dat de jouwe de "race" heeft gewonnen.

1. Een schijf met rotatietraagheidikvan 1,5 kg∙m²/s draait om een ​​as met een hoeksnelheidωvan 8 rad/s. Wat is het impulsmoment?L​?

2. Een dunne staaf van 15 m lang met een massa van 5 kg – laten we zeggen de wijzer van een massieve klok – draait rond een punt dat aan één uiteinde is vastgezet met een hoeksnelheidωvan 2π rad/60 s = (π/30) rad/s. Wat is het impulsmoment?L​?

Deze keer moet je de waarde opzoeken vanik. Voor een dunne staaf die op deze manier beweegt,ik= (1/3)mr²​.

Vergelijk dit met het antwoord in het eerste voorbeeld. Verbaast dit je? Waarom of waarom niet?

"Conservatie" betekent iets anders in de natuurkunde dan op het gebied van ecosystemen. Het betekent simpelweg dat de totale hoeveelheid geconserveerde grootheden (energie, momentum, massa en traagheid) de "grote vier" geconserveerde grootheden in de natuurkunde) in een systeem, inclusief het universum, blijft altijd de dezelfde. Als je energie probeert te "elimineren", verschijnt het gewoon in een andere vorm, en elke poging om het te "creëren" is afhankelijk van een reeds bestaande bron.

De wet van behoud van impulsmoment stelt dat in een gesloten systeem het totale impulsmoment niet kan veranderen. Omdat het impulsmoment afhangt van de hoeksnelheid en het traagheidsmoment, kan men voorspellen hoe een van deze grootheden dan in een gegeven situatie ten opzichte van elkaar moet veranderen.

• Formeel, aangezien koppel kan worden uitgedrukt alsτ= dL/ dt (de snelheid van verandering als impulsmoment met de tijd), wanneer de som van de koppels in een systeem nul is, dan dL/dt moet ook nul zijn en er is geen verandering in impulsmoment in het systeem gedurende het tijdsbestek waarin het systeem wordt beoordeeld. Omgekeerd, als L niet constant is, impliceert dit een onbalans van koppels in het systeem (d.w.z.τ_netto-isnietgelijk aan nul).

Dit is een belangrijk begrip in veel mechanische voorbeelden uit het dagelijks leven. Een klassiek voorbeeld is de schaatser: wanneer ze in de lucht springt om een ​​drievoudige as te doen, trekt ze haar ledematen stevig naar binnen. Dit verkleint haar totale straal rond haar rotatie-as, waardoor haar verdeling van de massa verandert, zodat haar traagheidsmoment afneemt (onthoud,ikis evenredig met mr²​).

Omdat het impulsmoment echter behouden blijft, alsikafneemt, moet haar hoeksnelheid toenemen; dit is hoe ze snel genoeg ronddraait om verschillende rotaties in de lucht te voltooien! Wanneer ze landt, doet ze het omgekeerde - ze spreidt haar ledematen uit, verandert haar massaverdeling om haar traagheidsmoment te vergroten, en vertraagt ​​op haar beurt haar rotatiesnelheid (hoeksnelheid).

Over het geheel genomen is het impulsmoment van het systeem constant, maar de variabelen die de grootte van het impulsmoment bepalen, kunnen worden gemanipuleerd, en met strategisch effect, zoals in dit geval.

Vanaf de 17e eeuw begon Isaac Newton een effectieve revolutie teweeg te brengen in de wiskundige fysica. Omdat hij mede-calculus had uitgevonden, was hij goed gepositioneerd om formele beweringen te doen over de vermoedelijk universele wetten die de beweging van objecten regelt, zowel translationeel (lineair en door de ruimte) als roterend (cyclisch en ongeveer) een as).

• De verschillenbehoudswettendie later uitgebreid worden genoemd, zijn niet de geesteskinderen van Newton, maar er bestaan ​​significante verbanden tussen deze en de bewegingswetten.

​De eerste wet van Newtonstelt dat een object dat in rust is of met constante snelheid beweegt, in deze toestand zal blijven tenzij een kracht van buitenaf op het object inwerkt. Dit wordt ook wel dewet van traagheid.​

​De tweede wet van Newtonstelt dat een nettokrachtF_netto-werkt op een deeltje met massam, zal het de neiging hebben om de snelheid van die massa te veranderen of te versnellen. Deze beroemde relatie wordt wiskundig uitgedrukt alsF_netto-= meen​.

​De derde wet van Newtonzegt dat voor elke kracht die in de natuur bestaat, er een kracht bestaat die even groot is maar in precies de tegenovergestelde richting wijst. Deze wet heeft belangrijke implicaties voor geconserveerde eigenschappen van beweging, inclusief impulsmoment.

Dit is een uitstekend moment om de aard, regels en relaties tussen relationshipsdwingen​, ​momentum(massa maal snelheid) enenergie, die niet alleen discussies over impulsmoment informeren, maar al het andere in de klassieke natuurkunde.

Zoals opgemerkt, tenzij een object een externe kracht ervaart (of in het geval van een roterend object, extern koppel), blijft zijn beweging onaangetast. Op aarde is de zwaartekracht echter vrijwel altijd in de mix, net als de mindere bijdragende luchtweerstand en verschillende soorten wrijving krachten, dus niets blijft gewoon in beweging, tenzij het af en toe energie krijgt om te vervangen wat wordt "genomen" door deze chronische "beweging" dieven."

Ter vereenvoudiging: een deeltje heeft atotale energiebestaande uitinterne energie(bijvoorbeeld de vibratie van de moleculen) enmechanische energie. Mechanische energie is beurt de som vanpotentiële energie(PE; "opgeslagen" energie, meestal via zwaartekracht) enkinetische energie(KE; bewegingsenergie). Handig, PE + KE + IE = een constante voor alle systemen, of het nu gaat om een ​​puntmassa (enkel deeltje) of een verscheidenheid aan zoemende, op elkaar inwerkende massa's.

Als je termen hoort die verband houden met beweging, zoals snelheid, versnelling, verplaatsing en momentum, ga je er waarschijnlijk standaard van uit dat de context lineaire beweging is. Rotatiebeweging heeft in feite zijn eigen unieke maar analoge grootheden.

Terwijl lineaire verplaatsing wordt gemeten in meters (m) in SI-eenheden, wordt hoekverplaatsing gemeten in radialen (2π rad = 360 graden). Overeenkomstig,hoeksnelheidwordt gemeten in rad/s en wordt weergegeven doorω, de Griekse letter omega.

Terwijl een puntmassa echter rond zijn rotatieas beweegt, volgt het deeltje, naast de hoeksnelheid, een cirkelvormig pad met een bepaalde snelheid, vergelijkbaar met lineaire beweging. Dit tarief is detangentiële snelheid​ ​v_t​​,en is gelijk aan rω,waarris de straal, of afstand vanaf de rotatie-as.

gerelateerd,hoekversnelling​ ​α(Griekse alfa) is de veranderingssnelheid van hoeksnelheidωen wordt gemeten in rad/s². Er is ook eenmiddelpuntzoekende versnelling​ ​een_cgegeven doorv_t²/r,die naar binnen gericht is in de richting van de rotatie-as.

• Terwijl de bespreking van impulsmoment, de tegenhanger van mvin lineaire termen, zal binnenkort grondig worden besproken, weet dat een van zijn componenten,ik, kan worden gezien als een rotatie-analoog van massa.

Impulsmoment, zoals kracht, verplaatsing, snelheid en versnelling, is avectorgrootheid, omdat dergelijke variabelen zowel a. omvattenomvang(d.w.z. een getal) en arichting, vaak gegeven termen van de individuele x-, y- en z-componenten. Hoeveelheden die alleen een numeriek element bevatten, zoals massa, tijd, energie en arbeid, staan ​​bekend alsscalaire hoeveelheden​.