Laten we, voordat we het zwaartepunt bespreken, een paar parameters aannemen. Ten eerste dat je te maken hebt met een object dat zich op het aardoppervlak bevindt, niet ergens in de ruimte. En twee, dat het object redelijk klein is - laten we zeggen, geen ruimteschip dat op aarde geparkeerd staat, wachtend om op te stijgen. Zodra al die buitenaardse invloeden zijn geëlimineerd, bevindt u zich in een prima positie om het zwaartepunt voor geometrische objecten te berekenen met behulp van een relatief eenvoudige formule - en in feite, vanwege de zojuist ingestelde voorwaarden, gebruik je dezelfde formule om het zwaartepunt te vinden als om de Zwaartepunt.
Hoe te schrijven over het zwaartepunt
Zwaartepunt in een tweedimensionaal vlak wordt meestal aangegeven met de coördinaten (xcg,ycg) of soms door de variabelenXenjamet een balk eroverheen. Ook wordt de term "zwaartepunt" soms afgekort tot cg.
Hoe CG van een driehoek te berekenen
Je wiskunde- of natuurkundeboek bevat vaak grafieken om het zwaartepunt van bepaalde figuren te bepalen. Maar voor sommige veelvoorkomende geometrische vormen kunt u de juiste zwaartepuntformule gebruiken om het zwaartepunt van die vorm te vinden.
Voor driehoeken ligt het zwaartepunt op het punt waar alle drie de medianen elkaar kruisen. Als je begint bij één hoekpunt van de driehoek en dan een rechte lijn trekt naar het middelpunt van de andere kant, dan is dat één mediaan. Doe hetzelfde voor de andere twee hoekpunten, en het punt waar alle drie de medianen elkaar snijden is het zwaartepunt van de driehoek.
En daar is natuurlijk een formule voor. Als de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek zijn (xcg,ycg), vind je de coördinaten als volgt:
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3}{3}
waar (x1,y1), (x2,y2) en (x3,y3) zijn de coördinaten van de drie hoekpunten van de driehoek. U kunt kiezen welk hoekpunt aan welk nummer wordt toegewezen.
Zwaartepuntsformule voor een rechthoek
Is het je opgevallen dat om het zwaartepunt van een driehoek te vinden, je gewoon de waarde van de x-coördinaten moet middelen, dan het gemiddelde nemen van de waarde van de y-coördinaten en de twee resultaten gebruiken als de coördinaten voor uw zwaartepunt?
Om het zwaartepunt van een rechthoek te vinden, doe je precies hetzelfde. Maar om uw berekeningen nog eenvoudiger te maken, neem aan dat de rechthoek vierkant is georiënteerd op een cartesiaans coördinaatvlak (dus het staat niet onder een hoek), en dat het hoekpunt linksonder de oorsprong is van de grafiek. Zoek in dat geval (xcg,ycg) voor een rechthoek hoef je alleen maar te berekenen:
x_{cg}=\frac{\text{width}}{2}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{\text{height}}{2}
Als u uw rechthoek niet wilt verplaatsen naar de oorsprong van het coördinatenvlak of als deze om wat voor reden dan ook niet precies haaks op de coördinaatassen, kunt u deze enigszins enger ogende, maar nog steeds effectieve formule onder ogen zien om al zijn x-coördinaten te middelen om de waarde te vinden van xcg, en het gemiddelde van alle y-coördinaten om de waarde van y. te vindencg:
x_{cg}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}
De zwaartepuntvergelijking
Wat als je het zwaartepunt moet berekenen voor een vorm die past bij alle eerst genoemde aannames (in feite probeer je geen letterlijke raketwetenschap te doen door het zwaartepunt te vinden voor objecten in de ruimte), maar het valt niet in een van de zojuist genoemde categorieën of in de grafieken achter in uw leerboek? Vervolgens kun je je vorm onderverdelen in meer bekende vormen en de volgende vergelijkingen gebruiken om hun collectieve zwaartepunt te vinden:
x_{cg}=\frac{a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n}{a_1+a_2+...+a_n}\\\text{ }\\y_{cg}=\frac{a_1y_1+a_2y_2+...+ a_ny_n}{a_1+a_2+...+a_n}
Of om het anders te zeggen, xcg is gelijk aan de oppervlakte van sectie 1 maal de locatie op de x-as, opgeteld bij de oppervlakte van sectie 2 maal de locatie, enzovoort totdat u de oppervlakte maal de locatie van alle secties hebt opgeteld; deel dan dat hele bedrag door de totale oppervlakte van alle secties. Doe dan hetzelfde voor y.
V: Hoe vind ik de oppervlakte van elke sectie?Door uw complexe of onregelmatige vorm op te delen in meer bekende polygonen, kunt u gestandaardiseerde formules gebruiken om het gebied te vinden. Als u die vorm bijvoorbeeld in rechthoekige stukken heeft verdeeld, kunt u de formule lengte × breedte gebruiken om de oppervlakte van elk stuk te bepalen.
V: Wat is de "locatie" van elke sectie?De locatie van elke sectie is de juiste coördinaat van het zwaartepunt van die sectie. Dus als je wilt2 (de locatie voor segment 2), moet u eigenlijk de y-coördinaat voor het zwaartepunt van dat segment opgeven. Nogmaals, dit is waarom je een vreemd gevormd object onderverdeelt in meer bekende vormen, omdat je de you kunt gebruiken formules die al zijn besproken om het zwaartepunt van elke vorm te vinden en vervolgens de juiste coördinaat te extraheren (en).
V: Waar gaat mijn vorm naartoe op het coördinatenvlak?Je mag kiezen waar je vorm op het coördinatenvlak zit - houd er rekening mee dat het zwaartepunt van je antwoord in relatie staat tot hetzelfde referentiepunt. Het is het gemakkelijkst om uw object in het eerste kwadrant van uw grafiek te plaatsen, met de onderkant tegen de x-as en de linkerrand tegen de y-as zodat alle x- en y-waarden positief zijn, maar ook klein genoeg om beheersbaar.
Trucs om het zwaartepunt te vinden
Als je met een enkel object te maken hebt, zijn intuïtie en een beetje logica soms alles wat je nodig hebt om het zwaartepunt te vinden. Als u bijvoorbeeld een platte schijf overweegt, is het zwaartepunt het middelpunt van de schijf. In een cilinder is dit het middelpunt op de as van de cilinder. Voor een rechthoek (of vierkant) is dit het punt waar de diagonale lijnen samenkomen.
Je hebt hier misschien een patroon opgemerkt: als het object in kwestie een symmetrielijn heeft, ligt het zwaartepunt op die lijn. En als het meerdere symmetrieassen heeft, zal het zwaartepunt zijn waar die assen elkaar kruisen.
Tot slot, als je het zwaartepunt van een echt complex object probeert te vinden, heb je twee opties: Ofwel haal je beste calculusintegralen eruit (zie Bronnen voor een drievoudige integraal die het zwaartepunt vertegenwoordigt voor een niet-uniforme massa) of voer uw gegevens in een speciaal gebouwd zwaartepunt in rekenmachine. (Zie bronnen voor een voorbeeld van een zwaartepuntcalculator voor radiografisch bestuurbare vliegtuigen.)